Elegimos un sistema de coordenadas rectangulares en el plano y trazamos los valores del argumento en el eje de abscisas X, y en el eje y - los valores de la función y = f(x).
Gráfico de función y = f(x) se llama el conjunto de todos los puntos, por lo que las abscisas pertenecen al dominio de la función, y las ordenadas son iguales a los valores correspondientes de la función.
En otras palabras, el gráfico de la función y \u003d f (x) es el conjunto de todos los puntos en el plano, las coordenadas X, en que satisfacen la relación y = f(x).
En la fig. 45 y 46 son gráficas de funciones y = 2x + 1 y y \u003d x 2 - 2x.
Estrictamente hablando, uno debería distinguir entre el gráfico de una función (cuya definición matemática exacta se dio arriba) y la curva dibujada, que siempre da solo un bosquejo más o menos preciso del gráfico (e incluso entonces, como regla, no de todo el grafo, sino sólo de su parte situada en las partes finales del plano). En lo que sigue, sin embargo, generalmente nos referiremos a "gráfico" en lugar de "boceto de gráfico".
Usando un gráfico, puedes encontrar el valor de una función en un punto. Es decir, si el punto x = un pertenece al ámbito de la función y = f(x), entonces para encontrar el número fa)(es decir, los valores de la función en el punto x = un) debe hacerlo. Necesidad a través de un punto con una abscisa x = un dibuja una línea recta paralela al eje y; esta recta cortará la gráfica de la función y = f(x) en un punto; la ordenada de este punto será, en virtud de la definición de la gráfica, igual a fa)(Figura 47).
Por ejemplo, para la función f(x) = x2 - 2x usando el gráfico (Fig. 46) encontramos f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, etc.
Un gráfico de función ilustra visualmente el comportamiento y las propiedades de una función. Por ejemplo, a partir de una consideración de la Fig. 46 es claro que la función y \u003d x 2 - 2x toma valores positivos cuando X< 0 y en X > 2, negativo - en 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x acepta en X = 1.
Para trazar una función f(x) necesitas encontrar todos los puntos del plano, coordenadas X,en que satisfacen la ecuación y = f(x). En la mayoría de los casos, esto es imposible, ya que hay infinitos puntos de este tipo. Por lo tanto, el gráfico de la función se representa aproximadamente, con mayor o menor precisión. El más simple es el método de trazado multipunto. Consiste en el hecho de que el argumento X proporcione un número finito de valores, por ejemplo, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k y haga una tabla que incluya los valores seleccionados de la función.
La tabla se ve así:
Habiendo compilado dicha tabla, podemos delinear varios puntos en el gráfico de la función y = f(x). Luego, conectando estos puntos con una línea suave, obtenemos una vista aproximada del gráfico de la función. y = f(x).
Sin embargo, cabe señalar que el método de trazado multipunto es muy poco fiable. De hecho, se desconoce el comportamiento de la gráfica entre los puntos marcados y su comportamiento fuera del segmento entre los puntos extremos tomados.
Ejemplo 1. Para trazar una función y = f(x) alguien compiló una tabla de argumentos y valores de funciones:
Los cinco puntos correspondientes se muestran en la Fig. 48.
Con base en la ubicación de estos puntos, concluyó que la gráfica de la función es una línea recta (que se muestra en la Fig. 48 con una línea de puntos). ¿Se puede considerar fiable esta conclusión? A menos que haya consideraciones adicionales para respaldar esta conclusión, difícilmente puede considerarse confiable. seguro.
Para corroborar nuestra afirmación, considere la función
.
Los cálculos muestran que los valores de esta función en los puntos -2, -1, 0, 1, 2 solo se describen en la tabla anterior. Sin embargo, la gráfica de esta función no es en absoluto una línea recta (se muestra en la Fig. 49). Otro ejemplo es la función y = x + l + senx; sus significados también se describen en la tabla anterior.
Estos ejemplos muestran que, en su forma "pura", el método de trazado multipunto no es fiable. Por lo tanto, para trazar una función dada, por regla general, proceda de la siguiente manera. Primero, se estudian las propiedades de esta función, con la ayuda de las cuales es posible construir un boceto del gráfico. Luego, al calcular los valores de la función en varios puntos (cuya elección depende de las propiedades establecidas de la función), se encuentran los puntos correspondientes del gráfico. Y, finalmente, se dibuja una curva a través de los puntos construidos usando las propiedades de esta función.
Más adelante consideraremos algunas propiedades (las más simples y de uso frecuente) de las funciones que se usan para encontrar un bosquejo de una gráfica, pero ahora analizaremos algunos métodos comúnmente usados para trazar gráficas.
Gráfica de la función y = |f(x)|.
A menudo es necesario trazar una función y = |f(x)|, donde f(x)- función dada. Recuerda cómo se hace esto. Por definición del valor absoluto de un número, se puede escribir
Esto significa que la gráfica de la función y=|f(x)| se puede obtener de la gráfica, funciones y = f(x) como sigue: todos los puntos de la gráfica de la función y = f(x), cuyas ordenadas no son negativas, debe dejarse sin cambios; además, en lugar de los puntos de la gráfica de la función y = f(x), teniendo coordenadas negativas, se deben construir los puntos correspondientes de la gráfica de la función y = -f(x)(es decir, parte del gráfico de la función
y = f(x), que se encuentra debajo del eje X, debe reflejarse simétricamente sobre el eje X).
Ejemplo 2 Trazar una función y = |x|.
Tomamos la gráfica de la función y = x(Fig. 50, a) y parte de este gráfico con X< 0 (tumbado bajo el eje X) se refleja simétricamente sobre el eje X. Como resultado, obtenemos la gráfica de la función y = |x|(Fig. 50, b).
Ejemplo 3. Trazar una función y = |x 2 - 2x|.
Primero trazamos la función y = x2 - 2x. La gráfica de esta función es una parábola, cuyas ramas están dirigidas hacia arriba, la parte superior de la parábola tiene coordenadas (1; -1), su gráfica interseca el eje de abscisas en los puntos 0 y 2. En el intervalo (0; 2 ) la función toma valores negativos, por lo que esta parte de la gráfica se refleja simétricamente sobre el eje x. La Figura 51 muestra un gráfico de la función y \u003d |x 2 -2x |, a partir de la gráfica de la función y = x 2 - 2x
Gráfica de la función y = f(x) + g(x)
Considere el problema de trazar la función y = f(x) + g(x). si se dan gráficas de funciones y = f(x) y y = g(x).
Tenga en cuenta que el dominio de la función y = |f(x) + g(х)| es el conjunto de todos aquellos valores de x para los que están definidas ambas funciones y = f(x) e y = g(x), es decir, este dominio de definición es la intersección de los dominios de definición, las funciones f(x ) y g(x).
Deja que los puntos (x 0, y 1) y (x 0, y 2) pertenecen respectivamente a los gráficos de función y = f(x) y y = g(x), es decir, y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Entonces el punto (x0;. y1 + y2) pertenece a la gráfica de la función y = f(x) + g(x)(por f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. y cualquier punto de la gráfica de la función y = f(x) + g(x) se puede obtener de esta manera. Por lo tanto, la gráfica de la función y = f(x) + g(x) se puede obtener de los gráficos de función y = f(x). y y = g(x) reemplazando cada punto ( xn, y 1) gráficos de funciones y = f(x) punto (xn, y1 + y2), donde y 2 = g(x norte), es decir, desplazando cada punto ( x n, y 1) gráfico de función y = f(x) a lo largo del eje en por la cantidad y 1 \u003d g (x n). En este caso, solo se consideran tales puntos. X n para el cual ambas funciones están definidas y = f(x) y y = g(x).
Este método de trazar un gráfico de función y = f(x) + g(x) se llama suma de gráficas de funciones y = f(x) y y = g(x)
Ejemplo 4. En la figura, por el método de sumar gráficas, se construye una gráfica de la función
y = x + senx.
Al trazar una función y = x + senx asumimos que f(x) = x, un g(x) = senx. Para construir un gráfico de función, seleccionamos puntos con abscisas -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5, 1.5, 2. Valores f(x) = x, g(x) = senx, y = x + senx calcularemos en los puntos seleccionados y colocaremos los resultados en la tabla.
En esta lección, consideraremos la técnica para construir un boceto de un gráfico de función, daremos ejemplos explicativos.
Tema: Repetición
Lección: Dibujar un gráfico de función (usando una función cuadrática fraccionaria como ejemplo)
Nuestro objetivo es construir un bosquejo de un gráfico de una función cuadrática fraccionaria. Por ejemplo, tomemos una función que ya nos es familiar:
Se da una función fraccionaria, cuyo numerador y denominador son funciones cuadráticas.
La técnica de dibujo es la siguiente:
1. Seleccionar los intervalos de constancia de signo y determinar el signo de la función en cada uno (Figura 1)
Consideramos en detalle y descubrimos que una función que es continua en la ODZ puede cambiar de signo solo cuando el argumento pasa por las raíces y los puntos de discontinuidad de la ODZ.
La función dada y es continua en su ODZ, indicamos la ODZ:
Encontremos las raíces:
Destaquemos intervalos de constancia de signo. Hemos encontrado las raíces de la función y los puntos de ruptura del dominio de definición - las raíces del denominador. Es importante notar que dentro de cada intervalo la función conserva su signo.
Arroz. 1. INTERVALOS DE SEÑAL CONSTANTE DE UNA FUNCIÓN
Para determinar el signo de una función en cada intervalo, puedes tomar cualquier punto que pertenezca al intervalo, sustituirlo en la función y determinar su signo. Por ejemplo:
La función tiene un signo más en el intervalo.
La función tiene un signo menos en el intervalo.
Esta es la ventaja del método del intervalo: determinamos el signo en un solo punto de prueba y concluimos que la función tendrá el mismo signo en todo el intervalo elegido.
Sin embargo, es posible configurar los signos automáticamente, sin calcular los valores de la función, para hacer esto, determine el signo en el intervalo extremo y luego alterne los signos.
1. Construyamos un gráfico en la vecindad de cada raíz. Recuerda que las raíces de esta función y :
Arroz. 2. Graficar en la vecindad de las raíces
Dado que en el punto el signo de la función cambia de más a menos, la curva está primero sobre el eje, luego pasa por cero y luego se ubica debajo del eje x. En el punto opuesto.
2. Construyamos un gráfico en la vecindad de cada discontinuidad ODZ. Recuerda que las raíces del denominador de esta función y :
Arroz. 3. Gráfica de la función en la vecindad de los puntos de discontinuidad de la ODZ
Cuando o el denominador de una fracción es prácticamente igual a cero, entonces cuando el valor del argumento se acerca a estos números, el valor de la fracción se acerca al infinito. En este caso, cuando el argumento se acerca al triple por la izquierda, la función es positiva y tiende a más infinito, por la derecha, la función es negativa y sale de menos infinito. Alrededor del cuatro, por el contrario, la función tiende a menos infinito por la izquierda, y sale de más infinito por la derecha.
Según el esquema construido, podemos adivinar la naturaleza del comportamiento de la función en algunos intervalos.
Arroz. 4. Bosquejo de la gráfica de la función
Considere la siguiente tarea importante: construir un bosquejo del gráfico de una función en la vecindad de puntos infinitamente distantes, es decir cuando el argumento tiende a más o menos infinito. En este caso, los términos constantes pueden despreciarse. Tenemos:
A veces puedes encontrar un registro de este hecho:
Arroz. 5. Bosquejo de la gráfica de una función en la vecindad de puntos en el infinito
Hemos obtenido un comportamiento aproximado de la función en todo su dominio de definición, luego necesitamos refinar las construcciones usando la derivada.
Ejemplo 1: dibuje un gráfico de función:
Tenemos tres puntos, cuando pasa el argumento por los que la función puede cambiar de signo.
Determinamos los signos de la función en cada intervalo. Tenemos un más en el intervalo de la extrema derecha, luego los signos se alternan, ya que todas las raíces tienen el primer grado.
Construimos un boceto del gráfico en la vecindad de las raíces y los puntos de ruptura de la ODZ. Tenemos: dado que en el punto el signo de la función cambia de más a menos, entonces la curva está primero sobre el eje, luego pasa por cero y luego se ubica debajo del eje x. Cuando o el denominador de una fracción es prácticamente igual a cero, entonces cuando el valor del argumento se acerca a estos números, el valor de la fracción se acerca al infinito. En este caso, cuando el argumento tiende a menos dos por la izquierda, la función es negativa y tiende a menos infinito; por la derecha, la función es positiva y sale por más infinito. Alrededor de las dos es lo mismo.
Encontremos la derivada de la función:
Es obvio que la derivada siempre es menor que cero, por lo tanto, la función decrece en todos los tramos. Entonces, en el área de menos infinito a menos dos, la función decrece de cero a menos infinito; en el área de menos dos a cero, la función decrece de más infinito a cero; en el área de cero a dos, la función decrece de cero a menos infinito; en el área de dos a más infinito, la función decrece de más infinito a cero.
Ilustremos:
Arroz. 6. Bosquejo de la gráfica de la función del ejemplo 1
Ejemplo 2: dibuje un gráfico de una función:
Construimos un bosquejo de la gráfica de la función sin usar la derivada.
Primero, examinamos la función dada:
Tenemos un solo punto, cuando pasa el argumento por el cual la función puede cambiar de signo.
Tenga en cuenta que la función dada es impar.
Determinamos los signos de la función en cada intervalo. Tenemos un más en el intervalo de la extrema derecha, luego cambia el signo, ya que la raíz tiene el primer grado.
Construimos un bosquejo del gráfico en la vecindad de la raíz. Tenemos: dado que en el punto el signo de la función cambia de menos a más, entonces la curva está primero debajo del eje, luego pasa por cero y luego se ubica arriba del eje x.
Ahora construimos un bosquejo del gráfico de la función en la vecindad de puntos infinitamente distantes, es decir cuando el argumento tiende a más o menos infinito. En este caso, los términos constantes pueden despreciarse. Tenemos:
Después de realizar los pasos anteriores, ya imaginamos la gráfica de la función, pero necesitamos refinarla usando la derivada.
Encontremos la derivada de la función:
Destacamos los intervalos de signo constante de la derivada: en . ODZ está aquí. Así, tenemos tres intervalos de constancia de la derivada y tres segmentos de monotonicidad de la función original. Determinemos los signos de la derivada en cada intervalo. Cuando la derivada es positiva, la función es creciente; cuando la derivada es negativa, la función es decreciente. En este caso, el punto mínimo, porque la derivada cambia de signo de menos a más; por el contrario, el punto máximo.
Construye una función
Llamamos su atención sobre un servicio para trazar gráficos de funciones en línea, cuyos derechos pertenecen a la empresa. Desmos. Use la columna de la izquierda para ingresar funciones. Puede ingresar manualmente o usando el teclado virtual en la parte inferior de la ventana. Para agrandar la ventana del gráfico, puede ocultar tanto la columna izquierda como el teclado virtual.
Beneficios de los gráficos en línea
- Visualización de las funciones introducidas
- Construcción de gráficos muy complejos
- Trazar gráficos definidos implícitamente (por ejemplo, elipse x^2/9+y^2/16=1)
- La capacidad de guardar gráficos y obtener un enlace a ellos, que está disponible para todos en Internet.
- Control de escala, color de línea
- La capacidad de trazar gráficos por puntos, el uso de constantes
- Construcción de varias gráficas de funciones al mismo tiempo
- Trazado en coordenadas polares (use r y θ(\theta))
Con nosotros es fácil crear gráficos de diversa complejidad en línea. La construcción se realiza al instante. El servicio tiene demanda para encontrar puntos de intersección de funciones, para mostrar gráficos para su posterior transferencia a un documento de Word como ilustraciones para resolver problemas, para analizar las características de comportamiento de los gráficos de funciones. El mejor navegador para trabajar con gráficos en esta página del sitio es Google Chrome. Al utilizar otros navegadores, no se garantiza el correcto funcionamiento.