Dejar a(X) Y b(X) – b.m. funciones en X® a (X® + ¥, X® –¥, X® X 0,…). Consideremos el límite de su relación en X® a.
1. Si = b Y b– número final, b¹ 0, entonces las funciones a(X), b(X) se llaman infinitesimales un orden de pequeñez en X® a.
2. Si = 0, entonces a(X) se llama infinitesimal orden superior , cómo b(X) en X® a. Obviamente, en este caso = ¥.
3. Si a(X) – b.m. orden superior que b(X), y = b¹ 0 ( b– número final, kÎ norte ), Eso a(X) se llama infinitesimal k-ésimo orden, en comparación con b(X) en X® a.
4. Si no existe (ni finito ni infinito), entonces a(X), b(X) son llamados incomparable b.m. en X® a.
5. Si = 1, entonces a(X), b(X) son llamados equivalente b.m. en X® a, que se denota de la siguiente manera: a(X) ~ b(X) en X® a.
Ejemplo 1. a(X) = (1 – X) 3 , b (X) = 1 – X 3 .
Es obvio que cuando X® 1 funciones a(X), b(X) son b.m. Para compararlos, encontremos el límite de su relación en X® 1:
Conclusión: a(X b(X) en X® 1.
Es fácil comprobar que = (¡asegúrate!), de donde se sigue que a(X) – b.m. 3er orden de pequeñez, en comparación con b(X) en X® 1.
Ejemplo 2. Funciones a 1 (X) = 4X, a 2 (X) = X 2 , a 3 (X) = pecado X, a 4 (X) = tg X son infinitesimales en X® 0. Comparémoslos:
0, , = 1, = ¥.
De aquí concluimos que a 2 (X) = X 2 – b.m. orden superior, en comparación con a 1 (X) Y a 3 (X) (en X® 0), a 1 (X) Y a 3 (X) – b.m. la misma orden a 3 (X) Y a 4 (X) – b.m. equivalente, es decir pecado X~tg X en X® 0.
Teorema 1. Dejar a(X) ~ a 1 (X), b(X) ~ b 1 (X) en X® a. Si existe, entonces ambos y = existen.
Prueba. = 1, = 1,
= = .
Este teorema facilita la búsqueda de límites.
Ejemplo 3.
Encontrar .
Debido al primer límite notable sin4 X~ 4X, tg3 X~ 3X en X® 0, por lo tanto
Teorema 2. Funciones infinitesimales a(X) Y b(X) son equivalentes (con X® a) si y solo si a(X) – b(X) es b.m. orden superior, en comparación con a(X) Y b(X) (en X® a).
Prueba
Dejar a(X) ~ b(X) en X® a. Entonces = = 0, es decir diferencia a(X) – b(X a(X) en en X® a(Similar a b(X)).
Dejar a(X) – b(X) – b.m. orden superior, en comparación con a(X) Y b(X), mostraremos que a(X) ~ b(X) en X® a:
= = + = 1,
¿Qué son infinitas funciones pequeñas?
Sin embargo, una función sólo puede ser infinitesimal en un punto específico. Como se muestra en la Figura 1, la función es infinitesimal sólo en el punto 0.
Figura 1. Función infinitesimal
Si el límite del cociente de dos funciones resulta en 1, se dice que las funciones son infinitesimales equivalentes cuando x tiende al punto a.
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]
Definición
Si las funciones f(x), g(x) son infinitesimales para $x > a$, entonces:
- Una función f(x) se llama infinitesimal de orden superior con respecto a g(x) si se cumple la siguiente condición: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
- Una función f(x) se llama infinitesimal de orden n con respecto a g(x) si es distinta de 0 y el límite es finito: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]
Ejemplo 1
La función $y=x^3$ es infinitesimal de orden superior para x>0, en comparación con la función y=5x, ya que el límite de su relación es 0, esto se explica porque la función $y=x ^3$ tiende a cero más rápido:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0) )x=0\]
Ejemplo 2
Las funciones y=x2-4 e y=x2-5x+6 son infinitesimales del mismo orden para x>2, ya que el límite de su relación no es igual a 0:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ a 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]
Propiedades de infinitesimales equivalentes
- La diferencia entre dos infinitesimales equivalentes es un infinitesimal de orden superior respecto de cada uno de ellos.
- Si de la suma de varios infinitesimales de diferente orden descartamos los infinitesimales de orden superior, entonces la parte restante, llamada parte principal, equivale a la suma total.
De la primera propiedad se deduce que los infinitesimales equivalentes pueden volverse aproximadamente iguales con un error relativo arbitrariamente pequeño. Por lo tanto, el signo ≈ se usa tanto para indicar la equivalencia de infinitesimales como para escribir la igualdad aproximada de sus valores suficientemente pequeños.
cuando encuentres límites muy a menudo es necesario utilizar la sustitución de funciones equivalentes para acelerar y facilitar los cálculos. La tabla de infinitesimales equivalentes se presenta a continuación (Tabla 1).
La equivalencia de los infinitesimales dados en la tabla se puede probar basándose en la igualdad:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]
tabla 1
Ejemplo 3
Demostremos la equivalencia de los infinitesimales ln(1+x) y x.
Prueba:
- Encontremos el límite de la relación de cantidades. \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
- Para ello aplicamos la propiedad del logaritmo: \[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
- Sabiendo que función logarítmica es continua en su dominio de definición, podemos intercambiar el signo del límite y la función logarítmica: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ bien)\]
- Como x es una cantidad infinitesimal, el límite tiende a 0. Esto significa: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ derecha)=\ln e=1\]
(aplicó el segundo límite maravilloso)
¿Qué son infinitas funciones pequeñas?
Sin embargo, una función sólo puede ser infinitesimal en un punto específico. Como se muestra en la Figura 1, la función es infinitesimal sólo en el punto 0.
Figura 1. Función infinitesimal
Si el límite del cociente de dos funciones resulta en 1, se dice que las funciones son infinitesimales equivalentes cuando x tiende al punto a.
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]
Definición
Si las funciones f(x), g(x) son infinitesimales para $x > a$, entonces:
- Una función f(x) se llama infinitesimal de orden superior con respecto a g(x) si se cumple la siguiente condición: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
- Una función f(x) se llama infinitesimal de orden n con respecto a g(x) si es distinta de 0 y el límite es finito: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]
Ejemplo 1
La función $y=x^3$ es infinitesimal de orden superior para x>0, en comparación con la función y=5x, ya que el límite de su relación es 0, esto se explica porque la función $y=x ^3$ tiende a cero más rápido:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0) )x=0\]
Ejemplo 2
Las funciones y=x2-4 e y=x2-5x+6 son infinitesimales del mismo orden para x>2, ya que el límite de su relación no es igual a 0:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ a 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2) ))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]
Propiedades de infinitesimales equivalentes
- La diferencia entre dos infinitesimales equivalentes es un infinitesimal de orden superior respecto de cada uno de ellos.
- Si de la suma de varios infinitesimales de diferente orden descartamos los infinitesimales de orden superior, entonces la parte restante, llamada parte principal, equivale a la suma total.
De la primera propiedad se deduce que los infinitesimales equivalentes pueden volverse aproximadamente iguales con un error relativo arbitrariamente pequeño. Por lo tanto, el signo ≈ se usa tanto para indicar la equivalencia de infinitesimales como para escribir la igualdad aproximada de sus valores suficientemente pequeños.
Al encontrar límites, muy a menudo es necesario utilizar la sustitución de funciones equivalentes para acelerar y facilitar los cálculos. La tabla de infinitesimales equivalentes se presenta a continuación (Tabla 1).
La equivalencia de los infinitesimales dados en la tabla se puede probar basándose en la igualdad:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]
tabla 1
Ejemplo 3
Demostremos la equivalencia de los infinitesimales ln(1+x) y x.
Prueba:
- Encontremos el límite de la relación de cantidades. \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
- Para ello aplicamos la propiedad del logaritmo: \[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
- Sabiendo que la función logarítmica es continua en su dominio de definición, podemos intercambiar el signo del límite y la función logarítmica: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ bien)\]
- Como x es una cantidad infinitesimal, el límite tiende a 0. Esto significa: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ derecha)=\ln e=1\]
(aplicó el segundo límite maravilloso)
Prueba
Disciplina: Matemáticas superiores
Tema: Límites. Comparación de cantidades infinitesimales
1. Límite de secuencia numérica
2. Límite de función
3. El segundo límite maravilloso
4. Comparación de cantidades infinitesimales
Literatura
1. Límite de secuencia numérica
La solución de muchos problemas matemáticos y aplicados conduce a una secuencia de números especificada de cierta manera. Conozcamos algunas de sus propiedades.
Definición 1.1. Si para cada numero natural
De acuerdo con alguna ley, se asigna un número real, entonces el conjunto de números se llama secuencia numérica.Según la Definición 1, está claro que una secuencia numérica siempre contiene un número infinito de elementos. El estudio de varias secuencias numéricas muestra que a medida que aumenta el número, sus miembros se comportan de manera diferente. Pueden aumentar o disminuir indefinidamente, pueden acercarse constantemente a un cierto número o pueden no mostrar ningún patrón en absoluto.
Definición 1.2. Número
Se llama límite de una secuencia numérica si para cualquier número hay un número de una secuencia numérica dependiendo de la condición que se cumpla para todos los números de la secuencia numérica.Una secuencia que tiene un límite se llama convergente. En este caso escriben
.Obviamente, para aclarar la cuestión de la convergencia de una secuencia numérica, es necesario tener un criterio que se base únicamente en las propiedades de sus elementos.
Teorema 1.1.(Teorema de Cauchy sobre la convergencia de una secuencia numérica). Para que una secuencia numérica sea convergente, es necesario y suficiente que para cualquier número
existía un número de una secuencia numérica que dependía de , de modo que para dos números cualesquiera de una secuencia numérica y que cumplieran la condición y , la desigualdad sería verdadera.Prueba. Necesidad. Dado que la secuencia numérica
converge, lo que significa que, de acuerdo con la Definición 2, tiene un límite. Elijamos algún número. Entonces, por definición del límite de una secuencia numérica, existe un número tal que la desigualdad se cumple para todos los números. Pero como es arbitrario, ya se cumplirá. Tomemos dos números de secuencia y, luego.Resulta que
, es decir, se ha demostrado la necesidad.Adecuación. se da que
. Esto significa que existe un número tal que para una condición dada y . En particular, si , y , entonces o siempre que . Esto significa que la secuencia numérica es limitada. Por tanto, al menos una de sus subsecuencias debe converger. Dejar . Demostremos que converge también.Tomemos un arbitrario
. Entonces, según la definición de límite, existe un número tal que la desigualdad es válida para todos. Por otro lado, por condición se da que la secuencia tenga un número tal que la condición se cumplirá para todos. y arreglar algunos. Luego para todos obtenemos: .Resulta que