Să presupunem că DM (factorul de decizie) are în vedere mai multe soluții posibile: i = 1,...,m. Situația în care activează decidentul este incertă. Se știe doar că una dintre opțiuni este prezentă: j = 1,…, n. Dacă decizia i -e este luată, iar situația este j -th, atunci firma condusă de decident va primi venit q ij . Matricea Q = (q ij) se numește matricea consecințelor (soluții posibile). Ce decizie trebuie să ia cel care ia deciziile? În această situație de deplină incertitudine se pot face doar câteva recomandări preliminare. Ele nu vor fi neapărat acceptate de decident. Multe vor depinde, de exemplu, de apetitul lui pentru risc. Dar cum să evaluăm riscul în această schemă?
Să presupunem că vrem să estimăm riscul prezentat de decizia i -e. Nu știm situația reală. Dar dacă ar ști asta, ar alege cea mai bună soluție, adică. generând cele mai multe venituri. Acestea. dacă situația este j, atunci s-ar lua o decizie care ar produce venit q ij.
Aceasta înseamnă că luând decizia i -e riscăm să obținem nu q j , ci doar q ij , ceea ce înseamnă că luarea deciziei i -e implică riscul de a nu obține r ij = q j - q ij . Matricea R = (r ij) se numește matrice de risc.
Exemplul nr. 1. Să existe o matrice de consecințe
Să creăm o matrice de risc. Avem q 1 = max(q i 1) = 8, q 2 = 5, q 3 = 8, q 4 = 12.. Prin urmare, matricea de risc este
Luarea deciziilor în condiții de incertitudine totală
Nu totul întâmplător poate fi „măsurat” prin probabilitate. Incertitudinea este un concept mai larg. Incertitudinea asupra cărui număr va ateriza zarul este diferită de incertitudinea privind starea economiei ruse în 15 ani. Pe scurt, fenomenele aleatorii individuale unice sunt asociate cu incertitudinea, în timp ce fenomenele aleatorii masive permit în mod necesar anumite modele de natură probabilistă.O situație de incertitudine completă se caracterizează prin absența oricăror informații suplimentare. Ce reguli și recomandări există pentru luarea deciziilor în această situație?
regula lui Wald(regula pesimismului extrem). Având în vedere soluția i -e, vom presupune că de fapt situația este cea mai proastă, adică. aducerea celui mai mic venit a i Dar acum să alegem soluția i 0 cu cel mai mare a i0 . Deci, regula lui Wald recomandă luarea unei decizii i0 astfel încât
Deci, în exemplul de mai sus, avem un 1 = 2, a 2 = 2, a 3 = 3, a 4 = 1. Dintre aceste numere, maximul este numărul 3. Aceasta înseamnă că regula lui Wald recomandă luarea a treia decizie.
Regulă sălbatică(regula riscului minim). La aplicarea acestei reguli se analizează matricea de risc R = (rij). Având în vedere soluția i -e, vom presupune că de fapt există o situație de risc maxim b i = max
Dar acum să alegem soluția i 0 cu cel mai mic b i0 . Deci, regula lui Savage recomandă luarea unei decizii i 0 astfel încât
În exemplul luat în considerare avem b 1 = 8, b 2 = 6, b 3 = 5, b 4 = 7. Minimul acestor numere este numărul 5. I.e. Regula lui Savage recomandă să luați a treia decizie.
regula Hurwitz(cântărind abordările pesimiste și optimiste ale unei situații). Se ia decizia i, la care se atinge maximul
, unde 0 ≤ λ ≤ 1.
Valoarea lui λ este aleasă din motive subiective. Dacă λ se apropie de 1, atunci regula Hurwitz se apropie de regula Wald pe măsură ce λ se apropie de 0, regula Hurwitz se apropie de regula „optimismului roz” (ghiciți singuri ce înseamnă asta). În exemplul de mai sus, cu λ = 1/2, regula lui Hurwitz recomandă a doua soluție.
Luarea deciziilor în condiții de incertitudine parțială
Să presupunem că în schema luată în considerare sunt cunoscute probabilitățile pj ca situația reală să se dezvolte conform opțiunii j. Această situație se numește incertitudine parțială. Cum să iei o decizie aici? Puteți selecta una dintre următoarele reguli.Regula pentru maximizarea venitului mediu așteptat. Venitul primit de companie la implementarea soluției i-a este o variabilă aleatoare Qi cu o serie de distribuție
qi1 | qi2 | … | qin |
p1 |
p2 | … |
pn |
Așteptarea matematică M este venitul mediu așteptat, notat cu . Regula recomandă luarea deciziei care produce rentabilitatea medie maximă așteptată.
Să presupunem că în circuitul din exemplul anterior probabilitățile sunt (1/2, 1/6, 1/6, 1/6). Atunci Q1 =29/6, Q2 =25/6, Q3 =7, Q4 =17/6. Rentabilitatea medie maximă așteptată este 7, corespunzătoare celei de-a treia soluții.
Regula pentru minimizarea riscului mediu așteptat. Riscul companiei la implementarea deciziei i-a este o variabilă aleatoare R i cu o serie de distribuție
ri1 | ri2 | … | rin |
p1 |
p2 | … |
pn |
Așteptarea matematică M este riscul mediu așteptat, notat și R i . Regula recomandă luarea unei decizii care implică riscul mediu minim așteptat.
Să calculăm riscurile medii așteptate pentru probabilitățile de mai sus. Se obține R 1 = 20/6, R 2 = 4, R 3 = 7/6, R 4 = 32/5. Riscul mediu minim așteptat este de 7/6, corespunzător celei de-a treia soluții.
Analiza deciziilor luate după două criterii: venitul mediu așteptat și riscul mediu așteptat și găsirea soluțiilor optime Pareto este similară cu analiza profitabilității și riscului tranzacțiilor financiare. În exemplu, setul de soluții care sunt operații optime Pareto constă dintr-o a treia soluție.
Dacă numărul de soluții Pareto-optime este mai mare de unul, atunci formula de ponderare f(Q)=2Q -R este utilizată pentru a determina cea mai bună soluție.
regula lui Laplace
Uneori, în condiții de incertitudine completă, se folosește regula lui Laplace, conform căreia toate probabilitățile p j sunt considerate egale. După aceasta, puteți alege una dintre cele două reguli de luare a deciziilor-recomandări prezentate mai sus.Exemplul nr. 2. Să luăm în considerare un exemplu de rezolvare a unui joc statistic într-o problemă economică.
O întreprindere agricolă poate vinde unele produse:
A1) imediat după curățare;
A2) în lunile de iarnă;
A3) în lunile de primăvară.
Profitul depinde de prețul de vânzare într-o anumită perioadă de timp, costurile de stocare și eventualele pierderi. Suma profitului calculată pentru diferite state-raporturi de venituri și costuri (S1, S2 și S3), pe toată perioada de implementare, este prezentată sub forma unei matrice (milioane de ruble)
S1 | S2 | S3 | |
A1 | 2 | -3 | 7 |
A2 | -1 | 5 | 4 |
A3 | -7 | 13 | -3 |
Soluţie
Rezultatele calculului vor fi introduse în tabel:
S1 | S2 | S3 | B | DAR | MM | DE | H-L | |
A1 | 2 | -3 | 7 | 1 | 2 | -3 | 3 | -0,6 |
A2 | -1 | 5 | 4 | 3,5 | 2,7 | -1 | 2,6 | 1,7 |
A3 | -7 | 13 | -3 | 4,2 | 1 | -7 | 5 | -0,28 |
pijamale | 0,2 | 0,5 | 0,3 | A3 | A2 | A2 | A3 | A2 |
1. Criteriul Bayes (așteptările matematice maxime)
Calculul se efectuează după formula:;
W 1 = 2∙0,2 + (-3) ∙0,5 + 7∙0,3 = 0,4 – 1,5 + 2,1 = 1
W 2 = -1∙0,2 + 5 ∙0,5 + 4∙0,3 = -0,2 + 2,5 + 1,2 = 3,5
W 3 = -7∙0,2 + 13∙0,5 + (-3)∙0,3 = -1,2 + 6,5 - 0,9 = 4,2
Introducem valorile găsite în prima coloană (B) și selectăm maximul
W = max(1;3,5;4,2) = 4,2,
Aceasta înseamnă că strategia A3 este optimă după acest criteriu – vinde în lunile de primăvară.
2. Criteriul de bază insuficient al lui Laplace (LCR)
Aflați valoarea medie a elementelor fiecărui rând:.
;
;
.
Introducem valorile găsite în a doua coloană (DAR) și selectăm maximul W = max(2; 2.7; 1) = 2.7, ceea ce înseamnă că strategia A2 este optimă în funcție de acest criteriu - vinde în lunile de iarnă.
3. Criteriul Maximin Wald (MM)
În fiecare linie găsim elementul minim: .W1 = min(2; -3; 7) = -3
W2 = min(-1; 5; 4) = -1
W3 = min(-7; 13; -3) = -7
Introducem valorile găsite în a treia coloană (MM) și selectăm maximul W = max(-3; -1; 7) = -1, ceea ce înseamnă că strategia A2 este optimă în funcție de acest criteriu - vinde iarna luni.
4. Criteriul Hurwitz de pesimism-optimism (P-O)
Pentru fiecare linie, calculăm valoarea criteriului folosind formula: . Conform condiției, C = 0,4, ceea ce înseamnă:W 1 = 0,4∙min(2; -3; 7) + (1-0,4) ∙ max(2; -3; 7) = 0,4∙(-3) + 0,6∙7 = -1,2 + 4,2 = 3
W 2 = 0,4∙min(-1; 5; 4) + (1-0,4) ∙ max(-1; 5; 4) = 0,4∙(-1) + 0,6∙5 = -0,4 + 3 = 2,6
W 3 = 0,4∙min(-7; 13; -3) + (1-0,4) ∙ max(-7; 13; -3) = 0,4∙(-7) + 0,6∙ 13 = -2,8 + 7,2 = 5
Introducem valorile găsite în a patra coloană (P-O) și selectăm maximul W = max(3; 2,6 5) = 5, ceea ce înseamnă că strategia A3 este optimă în funcție de acest criteriu - vinde în lunile de primăvară.
5. Criteriul Hodge-Lehman (HL)
Pentru fiecare linie, calculăm valoarea criteriului folosind formula: . Conform condiției u = 0,6 și factorii din fiecare termen au fost deja calculați, aceștia pot fi preluați din prima coloană (B) și din a treia coloană (MM), ceea ce înseamnă:W 1 = 0,6∙1 + (1-0,6) ∙(-3) = 0,6 – 1,2 = -0,6
W 2 = 0,6∙3,5 + (1-0,6) ∙(-1) = 2,1 – 0,4 = 1,7
W 3 = 0,6∙4,2 + (1-0,6) ∙(-7) = 2,52 – 2,8 = -0,28
Introducem valorile găsite în a cincea coloană (Х-Л) și selectăm maximul W = max(-0,6; 1,7; -0,28) = 1,7, ceea ce înseamnă că strategia A2 este optimă în funcție de acest criteriu - vinde în lunile de iarnă.
5. Criteriul de risc minimax al lui Savage
Să calculăm matricea de risc. Este mai bine să-l umpleți în coloane. În fiecare coloană găsim elementul maxim și citești din el toate celelalte elemente ale coloanei, scriind rezultatele în locurile potrivite.Iată cum se calculează prima coloană. Elementul maxim din prima coloană: a 11 = 2, adică conform formulei :
r 11 = 2 – a 11 = 2 -2 = 0
r 21 = 2 – a 21 = 2 –(-1) = 3
r 31 = 2 – a 31 = 2 –(-7) = 9
Să calculăm a doua coloană a matricei de risc. Elementul maxim din a doua coloană este: a 32 = 13, ceea ce înseamnă:
r 12 = 13 – a 12 = 13 –(-3) = 16
r 22 = 13 – a 22 = 13 –5 = 8
r 32 = 13 – a 32 = 13 –13 = 0
Să calculăm a treia coloană a matricei de risc. Elementul maxim din a treia coloană este: a 13 = 7, ceea ce înseamnă:
r 13 = 7 – a 13 = 7 –7 = 0
r 23 = 7 – a 23 = 7 –4 = 3
r 33 = 7 – a 33 = 7 –(-3) = 10
Astfel, matricea de risc are forma (în fiecare coloană în locul elementului maxim al matricei de plată ar trebui să existe un zero):
W i | |||
0 | 16 | 0 | 16 |
3 | 8 | 3 | 8 |
9 | 0 | 10 | 10 |
W 1 = max(0; 16; 0) = 16
W 2 = max(3; 8; 3) = 8
W 3 = max(9; 0; 10) = 10
Introducem valorile găsite în coloana (W i) și selectăm minimul W = min(16,8,10) = 8, ceea ce înseamnă că strategia A2 este optimă conform acestui criteriu - vinde în lunile de iarnă.
Concluzie:
- Strategia A1 (vânzarea imediat după recoltare) nu este optimă conform niciunuia dintre criterii.
- Strategia A2 (vânzarea în lunile de iarnă) este optimă după criteriul de bază insuficientă Laplace, criteriul Wald maximin și criteriul Savage minimax.
- Strategia A3 (vând în lunile de primăvară) este optimă după criteriile de pesimism-optimism Bayesian, Hurwitz, Hodge-Lehman.
Exemplul nr. 2. Într-un joc strategic obișnuit, fiecare jucător întreprinde exact acele acțiuni care sunt cele mai benefice pentru el și mai puțin benefice pentru adversarul său. Aceasta presupune că jucătorii sunt adversari raționali și antagonici. Cu toate acestea, de foarte multe ori există incertitudine, care nu este asociată cu opoziția conștientă a inamicului, ci depinde de o anumită realitate obiectivă.
Întreprinderea agricolă are trei loturi de teren: umed, umed mediu și uscat. Unul dintre aceste parcele ar trebui să fie folosit pentru cultivarea cartofilor, restul - pentru însămânțarea masei verzi. Pentru a obține o recoltă bună de cartofi, este necesară o anumită umiditate în sol în timpul sezonului de vegetație. Dacă există umiditate excesivă, cartofii plantați pot putrezi în unele zone, iar dacă nu sunt suficiente precipitații, se vor dezvolta slab, ceea ce duce la o scădere a randamentului. Stabiliți în ce zonă să semănați cartofi pentru a obține o recoltă bună, dacă se cunoaște randamentul mediu de cartofi din fiecare zonă, în funcție de condițiile meteorologice. Locația activată A 1 randamentul este de 200, 100 și 250 de cenți la 1 ha atunci când cantitatea normală de precipitații scade, mai mult, respectiv mai puțin decât norma. La fel și pe site A 2– 230, 120 și 200 cwt, și pe site A 3– 240, 260 și 100 c.
Folosim o abordare de joc. Întreprindere agricolă – jucător A, care are trei strategii: A 1– semănați cartofii într-o zonă umedă, A 2– într-o zonă cu umiditate medie, A 3- pe o zonă uscată. Jucător P– natura, care are trei strategii: P 1 corespunde cantității de precipitații sub normal, P 2- normal, P 3- mai mult decât în mod normal. Câștigul întreprinderii agricole pentru fiecare pereche de strategii ( A i, Pijamale) este determinată de randamentul de cartof la 1 ha.
P A | P 1 | P 2 | P 3 |
A 1 | 250 | 200 | 100 |
A 2 | 200 | 230 | 120 |
A 3 | 100 | 240 | 260 |
Poate părea că jocul cu natura este mai ușor decât jocul de strategie, deoarece natura nu se opune jucătorului A. În realitate, nu este cazul, deoarece într-o situație incertă este mai dificil să luați o decizie în cunoștință de cauză. Deși va câștiga A, cel mai probabil, mai mult decât într-un joc împotriva unui adversar conștient.
Exemplul 9. Compania produce rochii și costume populare pentru copii, a căror vânzare depinde de condițiile meteorologice. Costurile companiei in perioada august-septembrie pe unitate de productie au fost: rochii - 7 den. unități, costume – 28 den. unitati Pretul de vanzare este de 15 si 50 den. unitati respectiv. Conform observațiilor din mai mulți ani anteriori, compania poate vinde 1.950 de rochii și 610 costume pe vreme caldă și 630 de rochii și 1.050 de costume pe vreme rece.
Creați o matrice de plată.
Soluţie. Compania are două strategii: A 1: eliberați produse, crezând că vremea va fi caldă; A 2: eliberați produse crezând că vremea va fi răcoroasă.
Natura are două strategii: B 1: vremea este calda; B 2: Vremea este rece.
Să găsim elementele matricei de plată:
1) a 11 – venitul companiei la alegerea strategiei A 1 dat fiind B 1:
a 11 =(15-7) 1950+(50-28) 610=29020.
2) a 12 – venitul companiei la alegere A 1 dat fiind B 2. Compania va produce 1.950 de rochii și va vinde 630, venituri din vânzarea de rochii
(15-7) 630-7 (1950-630)=5040-9240
a 12 =5040-9240+22·610=9220.
3) similar pentru strategie A 2 in conditii B 1 compania va produce 1.050 de costume și va vinde 610;
a 21 =8 630+22 610-28 (1050-610)=6140
4) a 22 =8 630+22 1050=28140
Matricea de plată:
20 020 | 9 220 |
6 140 | 28 140 |
Exemplul 2. Asociația desfășoară explorări minerale în trei zăcăminte. Fondul asociatiei este de 30 den. unitati Bani la primul depozit M 1 poate fi investit în multipli de 9 den. unități, al doilea M 2- 6 zile unități, în a treia M 3– 15 den. unitati Prețurile pentru resursele minerale la sfârșitul perioadei de planificare pot fi în două stări: C 1Și C 2. Experții au constatat că în situație C 1 profit din domeniu M 1 va fi de 20% din suma de bani investită. unitati pentru dezvoltare, pentru M 2– 12% și mai departe M 3- 15 %. Într-o situație C 1 la sfârșitul perioadei de planificare profitul va fi de 17%, 15%, 23% în domenii M 1, M 3, M 3 respectiv.
Jucător A- Unirea. Jucător P(natura) – un set de circumstanțe externe care determină un anumit profit în domenii. Jucătorul are A Există patru posibilități care folosesc pe deplin facilitățile disponibile. Prima strategie A 1 este acela A va investi în M 19 zile unități, în M 2 – 6 zile unități, în M 3 – 15 zile unitati A doua strategie A 2: în M 1 – 18 zile unități, în M 2 – 12 zile unități, în M 3 nu investi bani. A treia strategie A 3:30 de zile unitati investeste in M 3. A patra strategie A 4:. 30 den. unitati investeste in M 2. Pe scurt putem scrie A 1 (9, 6, 15), A 2 (18, 12, 0), A 3 (0, 0, 30), A 4 (0, 30, 0).
Natura poate realiza una dintre cele două stări ale sale, caracterizată prin prețuri diferite pentru minerale la sfârșitul perioadei de planificare. Să notăm stările naturii P 1 (20 %, 12 %, 15 %), P 2 (17 %, 15 %, 23 %).
Elementele a ij ale matricei de plată au semnificația profitului total primit de asociație în diverse situații ( A i, Pijamale) (i=1, 2, 3, 4, j= 1, 2). De exemplu, să calculăm A 12, corespunzător situației ( A 1, P 2), adică cazul în care asociația investește în depozite M 1 , M 2 , M 3, respectiv 9 zile. unități, 6 zile unități, 15 zile unități, iar la sfârșitul perioadei de planificare prețurile erau într-o stare C 2:
un 12= 9·0,17+6·0,15+15·0,23 = 5,88 den. unitati
Exemplul 3. Sunt de așteptat inundații și pot varia de la categoria unu la cinci. Volumul daunelor provocate de inundații:
Categoria inundațiilor | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
Pagube, den. unitati | 5 | 10 | 13 | 16 | 20 |
Costuri de construcție a barajului:
Înălțimea barajului | h 1 | h 2 | h 3 | h 4 | h 5 |
Costuri, den. unitati | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
Primim matricea pierderilor:
P/A | P 0 | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | P 5 |
A 0 | 0 | 5 | 10 | 13 | 16 | 20 |
A 1 | 2 | 2 | 12 | 15 | 18 | 22 |
A 2 | 4 | 4 | 4 | 17 | 20 | 24 |
A 3 | 6 | 6 | 6 | 6 | 22 | 26 |
A 4 | 8 | 8 | 8 | 8 | 8 | 28 |
A 5 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 | 10 |
Astfel că din matricea pierderilor ( b ij) pentru a obține matricea câștigătoare, este suficient să schimbați semnul tuturor elementelor și să adăugați orice constantă C(în acest caz C poate fi interpretat ca suma alocată pentru construcția barajului, atunci câștigul a ij =C-b ij reprezintă suma economisită). De exemplu, cu C =30 matricea de profit este:
P / A | P 0 | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | P 5 |
A 0 | 30 | 25 | 20 | 17 | 14 | 10 |
A 1 | 28 | 28 | 18 | 15 | 12 | 8 |
A 2 | 26 | 26 | 26 | 13 | 10 | 6 |
A 3 | 24 | 24 | 24 | 24 | 8 | 4 |
A 4 | 22 | 22 | 22 | 22 | 22 | 2 |
A 5 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
Jocuri cu natura
Termen „natura” în teoria jocurilor este înțeleasă într-un sens larg. Acestea pot fi reale fizice naturale (climatice), biologice, chimice, sociale etc. procesele care însoţesc activitatea economică. „Natura” mai poate însemna și o piață care se opune antreprenorului, un mediu concurențial, un monopol etc. „Natura” poate acționa ca o parte antagonistă sau poate ca un mediu de cooperare. „Natura” sub formă de procese naturale, ca parte a economiei, nu urmărește să dăuneze „în mod specific” antreprenorului, ci provoacă anumite prejudicii din activitatea sa economică și aceasta. „pierderea” pentru ea ar trebui să fie minimă, dacă, în general, este imposibil să faci fără ea pentru mediu. Jucătorul A în astfel de jocuri sunt entități economice, iar jucătorul B este „natura”. De unde își obține „natura” fizică resursele? Pierderea jucătorului B, „natura” fizică, trebuie compensată din exterior, de exemplu, prin subvenții guvernamentale sau fonduri incluse în proiecte de investiții pentru reînnoirea resurselor naturale. Cunoașterea strategiilor optime ale „naturii” ne permite să stabilim condițiile cele mai nefavorabile pentru jucătorul A (antreprenor) care îl așteaptă („sperăm la ce este mai bun, dar pregătiți-vă pentru ce este mai rău”) și să estimam resursele necesare pentru restabilirea resurse naturale, oferindu-i posibilitatea de a primi un venit garantat.Dacă „natura” implică un mediu competitiv, atunci pierderea celui de-al doilea jucător este prețul luptei cu concurenții de pe piață.
Să trecem la exemple de formulări semnificative ale problemelor pentru a juca cu „natura”.
1. Jocuri antagoniste
Exemplul 1. (Planificarea culturilor). Un fermier care are un teren limitat îl poate planta cu trei culturi diferite A 1, A 2, A 3. Recolta acestor culturi depinde în principal de vreme („natura”), care poate fi în trei stări diferite: B 1, B 2, B 3. Fermierul are informații (date statistice) despre randamentul mediu al acestor culturi (numărul de cenți de cultură obținut la hectar de teren) în trei condiții meteorologice diferite, care se reflectă în tabel: Apoi matricea veniturilor (matricea plăților) a fermierul A are forma:
Elementul matricei A - ( a ij) arată câte venituri poate primi un fermier dintr-un hectar de pământ dacă seamănă o recoltă eu ( i =1, 2, 3), iar vremea va fi în stare j (j = 1, 2, 3).
Este necesar să se determine proporțiile în care fermierul trebuie să semene terenul disponibil pentru a obține venitul maxim garantat, indiferent de ce condiții meteorologice apar.
Această problemă poate fi redusă la un joc antagonic. În acest caz, fermierul este primul jucător, iar natura este al doilea jucător. Vom presupune că natura, ca jucător, se poate comporta în așa fel încât să provoace un prejudiciu maxim fermierului, urmărind astfel interese opuse (aceste ipoteze ne permit să estimăm veniturile pe care acesta le poate primi dacă condițiile meteorologice sunt la fel de nefavorabile precum posibil pentru el) . În acest caz, fermierul are la dispoziție trei strategii pure:
- prima strategie pură presupune că întregul teren va fi semănat cu cultura A 1;
- a doua strategie pură presupune că întregul teren va fi semănat cu cultura A 2 ;
- a treia strategie pură presupune că întreaga parcelă va fi semănată cu cultura A 3 .
- vreme uscată, care corespunde primei strategii pure B 1;
- vreme normală, care corespunde celei de-a doua strategii pure B 2;
- vreme ploioasă, care corespunde celei de-a treia strategii pure B 3.
2. Să verificăm dacă acest joc are un punct de șa.
V * =max i min j a ij = 50.
V * =min j max i a ij = 100.
3. Soluția jocului trebuie căutată în strategii mixte. Să reducem problema jocului la o problemă de programare liniară. Dacă primul jucător - agricultor- își aplică strategia mixtă optimă P*, și al doilea jucător - natură- își aplică în mod constant strategiile pure, atunci așteptarea matematică a venitului pe care un fermier îl poate primi din parcela sa nu va fi mai mică decât prețul jocului V.
.
Să împărțim egalitatea:
p* 1 + p* 2 + p* 3 = 1
pe V, constatăm că noile variabile y 1, y 2, y 3 satisfac condiția:
y 1 + y 2 + y 3 = 1/V
Deoarece Scopul primului jucător este de a-și maximiza câștigurile, A așteptarea matematică a câștigurilor sale nu este mai mică decât prețul jocului, atunci primul jucător se va strădui să maximizeze costul jocului, ceea ce echivalează cu reducerea la minimum a valorii 1/V.
Deci, pentru primul jucător (fermier), problema determinării strategiei de comportament optim a fost redusă la o problemă de programare liniară:
găsiți minimul funcției F = y 1 + y 2 + y 3
și restricții directe:
y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0
Să trecem la al doilea jucător, natura. Dacă al doilea jucător - natura - își va aplica strategia mixtă optimă Q * , iar primul jucător - fermierul - își va aplica în mod constant strategiile pure așteptarea matematică a pierderii celui de-al doilea jucător nu va fi mai mare decât costul jocului. Prin urmare, trebuie îndeplinit următorul sistem de inegalități:
Să împărțim fiecare dintre inegalitățile incluse în sistem la V și să introducem noi variabile:
.
Ca rezultat, obținem un nou sistem de inegalități:
Să împărțim egalitatea:
q* 1 + q* 2 + q* 3 = 1
pe V, constatăm că noile variabile q 1, q 2, q 3 satisfac condiția:
q 1 + q 2 + q 3 = 1/V
Deoarece ţintă al doilea jucător - natura- minimizarea pierderii sale, A așteptarea matematică a pierderii lui nu este mai mult decât prețul jocului, atunci al doilea jucător se va strădui să minimizeze costul jocului, ceea ce este echivalent cu maximizarea valorii 1/V.
Deci, pentru al doilea jucător (natura), problema determinării strategiei comportamentale optime a fost redusă la o problemă de programare liniară:
găsiți maximul funcției F / = x 1 + x 2 + x 3
cu următoarele limitări funcționale:
și restricții directe:
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0
Astfel, pentru a găsi strategia mixtă optimă a celui de-al doilea jucător, este necesară și rezolvarea problemei de programare liniară.
Problemele ambilor jucători au fost reduse la o pereche de probleme de programare liniară duală:
Problema celui de-al doilea jucător minimizarea pierderilor V | Problema primului jucător maximizarea profitului V |
Funcție obiectivă | |
F / = x 1 +x 2 +x 3 = → max | F = y 1 +y 2 +y 3 = → min |
Limitări funcționale | |
Restricții directe | |
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0 | y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0 |
Problema primului jucător este rezolvată folosind metoda simplex. Rezultatele numărării:
concluzii. Conform rezultatelor obtinute fermierului i se garantează un venit mediu de 66,67 unităţi din fiecare hectar de teren folosit pentru culturi în cele mai nefavorabile condiţii. Strategia optimă pentru el - creșterea a două culturi, A 1 și A 3, și, sub prima cultură ar trebui să i se dea 0,67 parte din întregul pământ, și sub a treia cultură 0,33 parte din terenul total.
Natura amenință fermierul cu căldură pentru 0,33 din sezonul de vegetație și cu ploi pentru 0,67 din sezon.
Exemplu. Planificarea producției în diferite stări ale naturii - cerere pe piață.
O întreprindere poate produce 4 tipuri de produse: A 1, A 2, A 3, A 4, în timp ce realizează profit. Valoarea sa este determinată de starea cererii (natura pieței), care poate fi într-una din cele patru stări posibile: B 1, B 2, B 3, B 4. Dependența valorii profitului de tipul de produs și de condițiile pieței este prezentată în tabel:
Tipuri de produse | Posibile stări ale pieței cererii | |||
B 1 | B 2 | B 3 | B 4 | |
A 1 | 4 | 3 | 5 | 6 |
A 2 | 2 | 6 | 1 | 5 |
A 3 | 3 | 0 | 7 | 2 |
A 4 | 3 | 5 | 1 | 3 |
Matricea de plată arată astfel:
Elementul matricei A - ( a ij) caracterizează cât profit poate primi o întreprindere dacă produce i-al-lea tip de produs( i=1, 2, 3, 4) la a j-a cerere ( j = 1, 2, 3, 4).
Este necesar să se determine proporțiile optime ale tipurilor de produse produse de întreprindere, a căror vânzare i-ar asigura veniturile maxime posibile, indiferent de starea cererii va fi realizată.
Această sarcină poate fi redusă la un joc antagonic.
În acest caz, ca primul jucător standuri companie, si ca al doilea jucător - natură, care afectează starea cererii și o poate face cât mai nefavorabilă întreprinderii. Vom presupune că natura, ca jucător, se va comporta în așa fel încât să provoace un prejudiciu maxim întreprinderii, urmărind astfel interese opuse.
În acest caz, conflictul dintre cele două părți poate fi caracterizat ca antagonic, iar utilizarea unui model al acestui conflict permite întreprinderii. estimați venitul pe care îl poate primi indiferent de starea cererii este realizată.
Acționând ca primul jucător, companie poate folosi patru strategii:
· prima strategie pură corespunzătoare producerii numai a produselor A 1 de către întreprindere
· a doua strategie pură, corespunzătoare producerii numai a produselor A 2 de către întreprindere
· a treia strategie pură, corespunzătoare producerii numai a produselor A 3 de către întreprindere
· a patra strategie pură, corespunzătoare producerii numai a produselor A 4 de către întreprindere
Acționând ca al doilea jucător, natură poate folosi, de asemenea, patru strategii:
· prima strategie pură, în care se realizează starea cererii B 1;
· a doua strategie pură, în care se realizează starea cererii B 2;
· a treia strategie pură, în care se realizează starea cererii B 3;
· a patra strategie pură, în care se realizează starea cererii B 4.
Soluţie
1. Să analizăm matricea de plată A.
Matricea A nu are strategii dominate și nu poate fi simplificată.
2. Să verificăm dacă acest joc are un punct de șa.
Să găsim prețul mai mic și mai mare al jocului:
V * =max i min j a ij = 3.
V * =min j max i a ij = 4.
Deoarece V * ≠V * , atunci acest joc antagonic nu are un punct de șa și o soluție în strategii pure.
Soluția jocului ar trebui căutată în strategii mixte. Să reducem conflictul antagonic luat în considerare la o problemă de programare liniară directă și duală.
Dacă primul jucător - companie - se aplică Ale mele optim amestecat strategie P*, a al doilea jucător - natură - se aplică consecvent lor strategii pure, Acea așteptarea matematică a veniturilor, pe care întreprinderea le poate primi va fi nu mai puțin decât prețul joculuiV.
Și invers, dacă al doilea jucător - natura - voi aplica strategia mixta optimaQ*, A primul jucător - întreprindere va fi consistentaplica strategiile tale pure, Acea așteptarea matematică a pierderii al doilea jucător va fi nu mai mult decât prețul jocului. Prin urmare, trebuie îndeplinit următorul sistem de inegalități:
Problema celui de-al doilea jucător minimizarea pierderilorV | Problema primului jucător maximizarea câștigurilorV |
Funcție obiectivă | |
F / = x 1 +x 2 +x 3 +x 4 =→ max | F = y 1 +y 2 +y 3 +y 4 =→ min |
Limitări funcționale | |
|
|
Restricții directe | |
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0, x 3 ≥ 0, x 4 ≥ 0 |
y 1 ≥ 0, y 2 ≥ 0, y 3 ≥ 0, y 4 ≥ 0 |
Y * = (y 1 * = 0,182; y 2 * = 0; y 3 * = 0; y 4 * = 0,091)
F= y 1 * + y 2 * + y 3 * +y 4 * = 0,273
Din relația y 1 * + y 2 * + y 3 * +y 4 * =1/V găsim V:
Din relații:
Sa gasim:
p* 1 = y* 1 V = 0,67, p* 2 = y* 2 V = 0, p* 3 = y* 3 V = 0, p* 4 = y* 4 V =0,33
În sfârșit avem:
P * = (p * 1 = 0,67; p * 2 = 0; p * 3 = 0; p * 4 = 0,33), V = 3,67
Pe baza soluției găsite pentru problema de programare liniară duală, găsim soluţie sarcina originală - Sarcinile celui de-al doilea jucător:
X * = (x 1 * = 0,121; x 2 * = 0,121; x 3 * = 0,03; x 4 * = 0)
F / = x 1 * + x 2 * + x 3 * +x 4 * = 0,273
Din relația x 1 * + x 2 * + x 3 * +x 4 * = 1/V găsim V:
Din relații:
Sa gasim:
q* 1 = x* 1 V = 0,445, q* 2 = x* 2 V = 0,444, q* 3 = x* 3 V = 0,111, q* 4 = x* 4 V = 0.
În sfârșit avem:
Q * = (q * 1 = 0,445; q * 2 = 0,444; q * 3 = 0,111; q * 4 = 0), V = 3,67
Exemplu. Compania intenționează să-și vândă produsele pe piețe, ținând cont de posibilele opțiuni pentru cererea consumatorilor P j , j = 1,4 (scăzut, mediu, ridicat, foarte mare). Compania a dezvoltat trei strategii de vânzare a mărfurilor A 1, A 2, A 3. Volumul cifrei de afaceri (unități monetare), în funcție de strategie și cererea consumatorilor, este prezentat în tabel.
A j | Pijamale | |||
P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | |
A 1 | 30+N | 10 | 20 | 25 + N/2 |
A 2 | 50 | 70 - N | 10 + N/2 | 25 |
A 3 | 25 – N/2 | 35 | 40 | 60 - N/2 |
Soluţie găsi folosind un calculator.
criteriul Bayes.
Conform criteriului Bayes, strategia (pură) A i care maximizează câștigul mediu a sau minimizează riscul mediu r este acceptată ca optimă.
Numărăm valorile lui ∑(a ij p j)
∑(a 1,j p j) = 33 0,3 + 10 0,2 + 20 0,4 + 26,5 0,1 = 22,55
∑(a 2,j p j) = 50 0,3 + 67 0,2 + 11,5 0,4 + 25 0,1 = 35,5
∑(a 3,j p j) = 23,5 0,3 + 35 0,2 + 40 0,4 + 58,5 0,1 = 35,9
A i | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | ∑(a ij p j) |
A 1 | 9.9 | 2 | 8 | 2.65 | 22.55 |
A 2 | 15 | 13.4 | 4.6 | 2.5 | 35.5 |
A 3 | 7.05 | 7 | 16 | 5.85 | 35.9 |
pijamale | 0.3 | 0.2 | 0.4 | 0.1 |
criteriul Laplace.
Dacă probabilitățile stărilor naturii sunt plauzibile, pentru a le evalua se folosește principiul rațiunii insuficiente al lui Laplace, conform căruia se presupune că toate stările naturii sunt la fel de probabile, adică:
q 1 = q 2 = ... = q n = 1/n.
q i = 1/4
A i | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | ∑(a ij) |
A 1 | 8.25 | 2.5 | 5 | 6.63 | 22.38 |
A 2 | 12.5 | 16.75 | 2.88 | 6.25 | 38.38 |
A 3 | 5.88 | 8.75 | 10 | 14.63 | 39.25 |
pijamale | 0.25 | 0.25 | 0.25 | 0.25 |
criteriul Wald.
Conform criteriului Wald, se consideră optimă o strategie pură, care în cele mai proaste condiții garantează câștigul maxim, adică.
a = max(min a ij)
Criteriul Wald concentrează statisticile pe cele mai nefavorabile stări ale naturii, i.e. acest criteriu exprimă o evaluare pesimistă a situaţiei.
A i | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | min(a ij) |
A 1 | 33 | 10 | 20 | 26.5 | 10 |
A 2 | 50 | 67 | 11.5 | 25 | 11.5 |
A 3 | 23.5 | 35 | 40 | 58.5 | 23.5 |
Criteriul sălbatic.
Criteriul de risc minim al lui Savage recomandă alegerea drept strategie optimă a celei în care amploarea riscului maxim este minimizată în cele mai proaste condiții, i.e. cu conditia:
a = min(max r ij)
Criteriul lui Savage concentrează statisticile pe cele mai nefavorabile stări ale naturii, adică. acest criteriu exprimă o evaluare pesimistă a situaţiei.
Găsim matricea de risc.
Risc– o măsură a discrepanței dintre diferitele rezultate posibile ale adoptării anumitor strategii. Câștigul maxim din a j-a coloană b j = max(a ij) caracterizează starea favorabilă a naturii.
1. Calculați prima coloană a matricei de risc.
r11 = 50 - 33 = 17; r21 = 50 - 50 = 0; r31 = 50 - 23,5 = 26,5;
2. Calculați coloana a 2-a a matricei de risc.
r12 = 67 - 10 = 57; r22 = 67 - 67 = 0; r32 = 67 - 35 = 32;
3. Calculați coloana a 3-a a matricei de risc.
r13 = 40 - 20 = 20; r23 = 40 - 11,5 = 28,5; r33 = 40 - 40 = 0;
4. Calculați coloana a 4-a a matricei de risc.
r14 = 58,5 - 26,5 = 32; r24 = 58,5 - 25 = 33,5; r34 = 58,5 - 58,5 = 0;
A i | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 |
A 1 | 17 | 57 | 20 | 32 |
A 2 | 0 | 0 | 28.5 | 33.5 |
A 3 | 26.5 | 32 | 0 | 0 |
A i | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | max(a ij) |
A 1 | 17 | 57 | 20 | 32 | 57 |
A 2 | 0 | 0 | 28.5 | 33.5 | 33.5 |
A 3 | 26.5 | 32 | 0 | 0 | 32 |
criteriul Hurwitz.
Criteriul Hurwitz este un criteriu de pesimism – optimism. Strategia optimă este considerată una pentru care este valabilă următoarea relație:
max(i)
unde s i = y min(a ij) + (1-y)max(a ij)
La y = 1 se obține criteriul Walde, la y = 0 se obține criteriul optimist (maximax).
Criteriul Hurwitz ia în considerare posibilitatea atât de cel mai rău, cât și de cel mai bun comportament al naturii pentru oameni. Cum te alegi? Cu cât consecințele deciziilor eronate sunt mai grave, cu atât dorința de a se asigura împotriva erorilor este mai mare, cu atât y este mai aproape de 1.
Calculăm s i.
s 1 = 0,5 10+(1-0,5) 33 = 21,5
s 2 = 0,5 11,5+(1-0,5) 67 = 39,25
s 3 = 0,5 23,5+(1-0,5) 58,5 = 41
A i | P 1 | P 2 | P 3 | P 4 | min(a ij) | max(a ij) | y min(a ij) + (1-y)max(a ij) |
A 1 | 33 | 10 | 20 | 26.5 | 10 | 33 | 21.5 |
A 2 | 50 | 67 | 11.5 | 25 | 11.5 | 67 | 39.25 |
A 3 | 23.5 | 35 | 40 | 58.5 | 23.5 | 58.5 | 41 |
Astfel, ca urmare a rezolvării jocului statistic după diverse criterii, strategia A 3 a fost recomandată mai des decât altele.
Conducerea companiei decide să amplaseze producția unui produs nou într-o anumită locație. Pentru a-ți face o idee despre situația de pe piață a unui produs nou la momentul stăpânirii producției, este necesar să se țină cont de costurile livrării produselor finite către consumator, de dezvoltarea infrastructurii de transport și sociale a regiune, concurența pe piață, relația dintre cerere și ofertă, cursuri de schimb și multe altele. Soluțiile posibile, a căror atractivitate pentru investiții este definită ca procentul de creștere a venitului în raport cu valoarea investiției de capital, sunt prezentate în tabel.
Alege:
1) un loc de amplasare a producției, dacă șeful întreprinderii este încrezător că situația 4 se va dezvolta pe piață;
2) un loc pentru a localiza producția dacă conducerea estimează probabilitatea situației 1 la 0,2; situații 2 în 0,1; situația 3 la 0,25;
3) selectați o opțiune în condiții de incertitudine după criteriul: maximax, maximin, criteriu Laplace, criteriu Savage, criteriu Hurwitz (y = 0,3);
4) se va schimba cea mai bună soluție conform criteriului Hurwitz dacă valoarea lui a crește la 0,5?
5) presupunând că datele din tabel reprezintă costurile întreprinderii, se determină alegerea pe care o va face întreprinderea la utilizarea fiecăruia dintre următoarele criterii: maximin; maximax; criteriul Hurwitz (? = 0,3); Criteriul sălbatic; criteriul Laplace
Sarcini tipice
- Selectați proiectul optim pentru construcție folosind criteriile Laplace, Wald, optimism maxim, Savage și Hurwitz cu a=0,58. Matricea costurilor arată astfel:
0.07 0.26 0.11 0.25 0.1 0.21 68 45 54 79 47 99 56 89 42 56 74 81 72 87 56 40 62 42 65 48 75 89 52 80 69 93 93 56 45 43 73 94 79 68 67 46 66 100 64 89 94 49 70 42 97 42 42 50 - O întreprindere de comerț cu amănuntul a dezvoltat mai multe opțiuni pentru un plan de vânzare a mărfurilor la târgul viitor, ținând cont de condițiile de piață în schimbare și de cererea clienților, sumele de profit rezultate din posibilele lor combinații sunt prezentate sub forma unei matrice câștigătoare. Determinați planul optim pentru vânzarea mărfurilor.
x=0,7 - Compania intenționează să-și vândă produsele pe piețe, ținând cont de posibilele opțiuni pentru cererea consumatorilor Pj, j=1͞,4͞ (scăzut, mediu, ridicat, foarte mare). Compania a dezvoltat trei strategii de vânzare a mărfurilor A 1, A 2, A 3. Volumul cifrei de afaceri (unități monetare), în funcție de strategie și cererea consumatorilor, este prezentat în tabel.
A j Pijamale P 1 P 2 P 3 P 4 A 1 30+N 10 20 25 + N/2 A 2 50 70 - N 10 + N/2 25 A 3 25 – N/2 35 40 60 - N
Unde N=3
Sunt cunoscute stările posibile ale cererii consumatorilor, care sunt, respectiv, q 1 =0,3, q 2 =0,2, q 3 =0,4, q 4 =0,1. Este necesar să se găsească o strategie de vânzări care să maximizeze cifra de afaceri medie a companiei. În acest caz, utilizați criteriile Wald, Hurwitz, Savage și Bayes.
Soluţie - Costurile fabricii pe unitatea de producție în perioada aprilie - mai au fost: rochii - 8 unități monetare, costume - 27, iar prețul de vânzare este de 16, respectiv 48, conform observațiilor anterioare, fabrica poate vinde în aceste luni în condiții de vreme caldă 600 de costume și 1975 de rochii, iar pe vreme rece - 625 de rochii și 1000 de costume.
Să luăm în considerare schema clasică de luare a deciziilor în condiții de incertitudine.
Să ne amintim asta financiar este o operațiune ale cărei stări inițiale și finale au o valoare monetară, iar scopul căreia este maximizarea veniturilor - diferența dintre valorile finale și inițiale. Aproape întotdeauna, tranzacțiile financiare sunt efectuate în condiții de incertitudine și, prin urmare, rezultatele lor nu pot fi anticipate. Persoana care efectuează operația se numește decident - Factor de decizie(în multe cazuri decidentul este investitorul). Operația se numește riscant, dacă poate avea mai multe rezultate care nu sunt echivalente pentru decident.
Sarcină. Să luăm în considerare 3 operațiuni cu același set de două rezultate - alternativele A și B, care caracterizează venitul primit de decident.
Toate cele 3 operații sunt riscante. Pentru a 1-a și a 2-a acest lucru este evident, dar de ce a 3-a operație este considerată riscantă? La urma urmei, promite doar venituri pozitive pentru factorii de decizie? Având în vedere posibilele rezultate ale celei de-a 3-a operațiuni, vedem că putem obține un venit de 20 de unități, deci posibilitatea de a primi un venit de 15 unități. este considerată ca un eșec, ca un risc de a nu primi 5 unități. sursa de venit.
Cum se evaluează o tranzacție financiară în ceea ce privește profitabilitatea și riscul acesteia? La această întrebare nu este atât de ușor de răspuns, în principal pentru că conceptul de risc are mai multe fațete. Există mai multe moduri diferite de a face această evaluare. Să luăm în considerare una dintre aceste abordări.
Matrice de consecințe și riscuri. Să luăm în considerare problema efectuării unei tranzacții financiare care are mai multe rezultate posibile. În acest sens, se efectuează o analiză a posibilelor soluții și a consecințelor acestora. Să presupunem că decidentul ia în considerare m solutii posibile: i = 1,…, m. Situația este incertă, știm doar că unul dintre n Opțiuni: j = 1,…, n. Dacă este acceptat i-acea decizie, iar situația se va dezvolta j-tay, atunci venitul primit de decident va fi egal cu q ij. Matrice Q = (q ij) se numește matrice consecințe (solutii posibile). Ce decizie trebuie să ia cel care ia deciziile? În această situație incertă, se pot face doar câteva recomandări. Ele nu vor fi neapărat acceptate de decident. Multe vor depinde, de exemplu, de apetitul lui pentru risc. Dar cum să evaluăm riscul în această schemă? Să presupunem că vrem să estimăm riscul prezentat de i- acea decizie. Nu cunoaștem situația reală, dar dacă am ști-o, am alege cea mai bună soluție, adică. generând cele mai multe venituri. Dacă situaţia j-taya, atunci se ia o decizie care dă venit. Deci, luând i-acea decizie, riscăm să luăm nu, ci numai q ij, adică Adopţie i-acea decizie presupune riscul de a nu fi corectă. Matrice R= () sunt numite matricea de risc.
Sarcină. Să existe o matrice de consecințe:.
Să creăm o matrice de risc:
O situație de incertitudine completă se caracterizează prin absența oricăror informații suplimentare (de exemplu, despre probabilitățile anumitor opțiuni pentru situația reală). Ce reguli și recomandări există pentru luarea deciziilor în această situație?
regula lui Wald (regula pesimismului extrem). Dacă te ghidezi după acest criteriu, trebuie să te concentrezi mereu asupra celor mai rele condiții, știind cu siguranță că „nu va fi mai rău”. Luand in considerare i-acea decizie, vom presupune că în realitate situația este cea mai proastă, adică. aducând cel mai mic venit: . Acum să alegem o soluție i 0 cu cel mai mare: . În problema avem: Din aceste numere găsim maximul – 3. Regula lui Wald recomandă a treia decizie. Evident, această abordare este o abordare de „reasigurare”, firească pentru cineva căruia îi este foarte frică să nu piardă.
Regulă sălbatică (regula riscului minim). Acest criteriu este, de asemenea, extrem de pesimist, dar atunci când alegeți strategia optimă, sfătuiește să vă concentrați nu pe valoarea veniturilor, ci pe risc. La aplicarea acestei reguli, se analizează matricea de risc R= ().Avand in vedere i-acea decizie, vom presupune ca de fapt se contureaza o situatie de risc maxim. Acum să alegem o soluție i 0 cu cel mai mic: . În problema pe care o avemÎn problema pe care o avemDin aceste numere găsim minimul - 5. Regula lui Savage recomandă să luați a treia decizie. Esența acestei abordări este evitarea riscurilor mari în toate modurile posibile atunci când luați o decizie.
regula Hurwitz (pesimism-optimism). Acest criteriu recomandă ca atunci când alegeți o soluție să nu vă ghidați nici de pesimismul extrem, nici de optimismul extrem. Se ia o decizie în care se atinge maximul, unde este „coeficientul de pesimism”. Valoarea este aleasă din motive subiective. Dacă se apropie de 1, regula Hurwitz se apropie de regula Wald pe măsură ce se apropie de 0, regula Hurwitz se apropie de regula „optimismului extrem”, care recomandă alegerea strategiei pentru care câștigurile din linie sunt maxime. În problemă, criteriul Hurwitz recomandă a 2-a soluție.
Să presupunem că în schema luată în considerare sunt cunoscute probabilitățile ca situația reală să se dezvolte în funcție de variantă j. Această situație se numește incertitudine parțială. Care sunt recomandările pentru luarea unei decizii în acest caz? Puteți urma una dintre următoarele reguli.
Regula pentru maximizarea venitului mediu așteptat. Venituri primite de companie la vânzare i-a soluție este o variabilă aleatorie cu legea distribuției
q i1 |
q i2 |
q în |
||
Așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare este venitul mediu așteptat. Criteriul recomandă luarea unei decizii care maximizează rentabilitatea medie așteptată.
Sarcină. Fie în problema anterioară Atunci venitul mediu maxim așteptat să fie egal cu 7, ceea ce corespunde soluției a 3-a.
Regula pentru minimizarea riscului mediu așteptat. Riscul companiei în timpul implementării i-a soluție este o variabilă aleatorie cu o lege de distribuție
r i1 |
r i2 |
r în |
||
Așteptarea matematică a acestei variabile aleatoare este riscul mediu așteptat. Criteriul recomandă luarea unei decizii care să minimizeze riscul mediu așteptat.
Metoda riscului minim. Această metodă a fost dezvoltată în legătură cu problemele radarului, dar poate fi folosită cu destul de mult succes în problemele tehnice de diagnosticare.
Să se măsoare un parametru x (de exemplu, nivelul de vibrație al unui produs) și, pe baza datelor de măsurare, este necesar să se tragă o concluzie despre posibilitatea continuării funcționării (diagnostic - stare bună) sau despre trimiterea produsului pentru reparare (diagnostic - stare defectuoasă).
În fig. Tabelul 1 prezintă valorile densității de probabilitate ale parametrului de diagnostic x pentru două condiții.
Să se stabilească un standard de control pentru nivelul de vibrație.
În conformitate cu acest standard, sunt acceptate următoarele:
Semnul înseamnă că un obiect cu nivelul de vibrație x este clasificat ca o stare dată.
Din fig. 1 rezultă că orice alegere de valoare este asociată cu un anumit risc, întrucât curbele se intersectează.
Există două tipuri de risc: riscul de „alarma falsă”, atunci când un produs care funcționează este considerat defect și riscul de „răpire a țintei”, atunci când un produs defect este considerat adecvat.
În teoria controlului statistic, ele sunt numite riscul furnizorului și riscul receptorului, sau erori de primul și al doilea tip.
Având în vedere acest lucru, probabilitatea unei alarme false
și probabilitatea de a rata ținta
Sarcina teoriei deciziei statistice este de a selecta valoarea optimă
Metoda riscului minim ia în considerare costul total al riscului
unde este „prețul” unei alarme false; - „prețul” ratei unui gol; - probabilităţi a priori de diagnostice (afecţiuni), determinate preliminar
Orez. 1. Densitatea de probabilitate a unei caracteristici de diagnostic
date statistice. Valoarea reprezintă valoarea „medie” a pierderii din cauza unei decizii incorecte.
Din condiția minimă necesară
primim
Se poate demonstra că pentru distribuțiile unimodale, condiția (23) oferă întotdeauna o valoare minimă, dacă costul deciziilor eronate este același
Ultima relație minimizează numărul total de decizii eronate. De asemenea, rezultă din metoda bayesiană.
Metoda Neyman-Pearson. Această metodă se bazează pe condiția unei probabilități minime de lipsă a unui defect cu un nivel acceptabil de probabilitate a unei alarme false.
Astfel, probabilitatea unei alarme false
unde este nivelul permis de alarmă falsă.
În problemele cu un singur parametru luate în considerare, probabilitatea minimă de a rata ținta este atinsă când
Ultima condiție determină valoarea limită a parametrului (valoarea
Când atribuiți valoarea a, luați în considerare următoarele:
1) numărul de produse scoase din serviciu trebuie să depășească numărul așteptat de produse defecte din cauza erorilor inevitabile în metoda de evaluare a stării;
2) valoarea asumată a alarmei false nu ar trebui, dacă nu este absolut necesar, să perturbe funcționarea normală sau să conducă la pierderi economice mari.
Exemplul 2.5. Pentru matricea de consecințe dată în exemplul 2.1, selectați cea mai bună soluție pe baza criteriului Hurwitz cu λ =1/2.
Soluţie. Având în vedere matricea de consecințe Q rând cu rând, pentru fiecare i calculăm valorile ci= 1/2minqij + 1/2maxqij. De exemplu, c1=1/2*2+1/2*8=5; găsit în mod similar c2=7; c3=6,5; c4= 4,5. Cel mai mare este c2=7. În consecință, criteriul Hurwitz pentru un dat λ =1/2 recomandă alegerea celei de-a doua opțiuni ( i=2).
2.3. Analiza unui grup înrudit de soluții în condiții de parțial
incertitudine
Dacă, atunci când ia o decizie, decidentul cunoaște probabilitățile pijamale Dacă situația reală se poate dezvolta conform opțiunii j, atunci ei spun că decidentul se află în condiții de incertitudine parțială. În acest caz, vă puteți ghida după unul dintre următoarele criterii (reguli).
Criteriul (regula) pentru maximizarea venitului mediu așteptat. Acest criteriu se mai numește criteriul pentru câștigurile medii maxime. Dacă probabilităţile sunt cunoscute pijamale opțiuni pentru dezvoltarea situației reale, atunci venitul primit din soluția i-a este o variabilă aleatoare Qi cu o serie de distribuție
Valorea estimata M[Qi] a variabilei aleatoare Qi este venitul mediu așteptat, notat și cu:
= M[Qi ] = .
Pentru fiecare opțiune de soluție i-a, valorile sunt calculate și, în conformitate cu criteriul luat în considerare, este selectată o opțiune pentru care
Exemplul 2.6. Pentru datele inițiale din Exemplul 2.1, să fie cunoscute probabilitățile de dezvoltare a unei situații reale pentru fiecare dintre cele patru opțiuni care formează un grup complet de evenimente:
p1 =1/2, p2=1/6, p3=1/6, p4=1/6. Aflați care variantă de soluție realizează cel mai mare venit mediu și care este valoarea acestui venit.
Soluţie. Să găsim pentru fiecare opțiune de soluție i-a venitul mediu așteptat: =1/2*5+1/6*2+1/6*8+1/6*4= 29/6, = 25/6, = 7, = 17/6. Rentabilitatea medie maximă așteptată este 7 și corespunde celei de-a treia soluții.
Regula pentru minimizarea riscului mediu așteptat (alt nume - criteriul pierderii medii minime).
În aceleași condiții ca în cazul precedent, riscul decidentului la alegerea soluției i-a este o variabilă aleatoare Ri cu o serie de distribuție
Valorea estimata Mși este riscul mediu așteptat, notat și prin: = M = . . Regula recomandă luarea unei decizii care implică riscul mediu minim așteptat: .
Exemplul 2.7 . Datele inițiale sunt aceleași ca în exemplul 2.6. Determinați care opțiune de soluție realizează cel mai scăzut risc mediu așteptat și găsiți valoarea riscului (pierderii) mediu așteptat minim.
Soluţie. Pentru fiecare i-a opțiune de soluție, găsim valoarea riscului mediu așteptat. Pe baza matricei de risc date R, găsim: = 1/2*3+1/6*3+1/6*0+1/6*8=20/6, = 4, = 7/6, = 32 /6.
Prin urmare, riscul mediu minim așteptat este 7/6 și corespunde celei de-a treia soluții: = 7/6.
cometariu. Când se vorbește despre venitul (câștig) mediu așteptat sau despre riscul (pierderea) mediu așteptat, se referă la posibilitatea repetării repetate a procesului de luare a deciziilor conform schemei descrise sau la repetarea efectivă repetată a unui astfel de proces în trecut. . Condiționalitatea acestei ipoteze este că numărul efectiv necesar de astfel de repetări poate să nu existe.
Criteriul Laplpas (regula) de șanse egale (indiferența). Acest criteriu nu se referă direct la cazul incertitudinii parțiale și se aplică în condiții de incertitudine completă. Totuși, aici se presupune că toate stările mediului (toate variantele situației reale) sunt la fel de probabile - de unde și denumirea criteriului. Apoi se pot aplica schemele de calcul descrise mai sus, luând în considerare probabilitățile pijamale identică pentru toate variantele situaţiei reale şi egală cu 1/n. Astfel, atunci când se utilizează criteriul maximizării venitului mediu așteptat, se selectează o soluție care realizează . Și în conformitate cu criteriul minimizării riscului mediu așteptat, este selectată o opțiune de soluție pentru care .
Exemplul 2.8. Folosind criteriul Laplace al egalității de șanse pentru datele inițiale din Exemplul 2.1, selectați cea mai bună soluție pe baza: a) regula de maximizare a venitului mediu așteptat; b) reguli de minimizare a riscului mediu aşteptat.
Soluţie. a) Ținând cont de echiprobabilitatea opțiunilor în situația reală, venitul mediu așteptat pentru fiecare dintre opțiunile de soluție este = (5+2+8+4)/4=19/4, = 21/4, = 26 /4, = 15/4. Prin urmare, cea mai bună soluție ar fi a treia, iar rentabilitatea medie maximă așteptată ar fi de 26/4.
b) Pentru fiecare opțiune de soluție, calculăm riscul mediu așteptat pe baza matricei de risc, ținând cont de echiprobabilitatea opțiunilor de situație: = (3+3+0+8)/4 = 14/4, = 3, = 7/4, = 18/4. Rezultă că a treia opțiune va fi cea mai bună, iar riscul mediu minim așteptat va fi de 7/4.
2.4. Optimitatea Pareto a financiară cu două criterii
operațiuni în condiții de incertitudine
Din cele discutate mai sus, rezultă că fiecare decizie (tranzacție financiară) are două caracteristici care trebuie optimizate: venitul mediu așteptat și riscul mediu așteptat. Astfel, alegerea celei mai bune soluții este o problemă de optimizare cu două criterii. În problemele de optimizare multicriterială, conceptul principal este conceptul Optimitatea Pareto. Să luăm în considerare acest concept pentru tranzacțiile financiare cu cele două caracteristici indicate.
Lasă fiecare operațiune A are două caracteristici numerice E(a),r(A)(de exemplu, eficacitate și risc); în timpul optimizării E se străduiesc să crească şi r scădea.
Există mai multe moduri de a formula astfel de probleme de optimizare. Să luăm în considerare această problemă într-o formă generală. Lăsa A - un anumit set de operații și diferite operații diferă în mod necesar în cel puțin o caracteristică. Atunci când alegeți cea mai bună operațiune, este indicat ca E a fost mai mult și r a fost mai puțin.
Vom spune că operația A domină interventie chirurgicala b, și desemnează a > b, Dacă E(a) ≥ E(b) Și r(A) ≤ r(b) și cel puțin una dintre aceste inegalități este strictă. În acest caz, operația A numit dominant, si operatia b –dominat. Este evident că nicio operațiune dominată nu poate fi recunoscută cel mai bun. În consecință, cea mai bună operațiune trebuie căutată în rândul operațiunilor nedominate. Se numește setul de operații nedominate Mulțimea Pareto (regiune) sau Setul de optimități Pareto.
Pentru mulțimea Pareto este adevărată următoarea afirmație: fiecare dintre caracteristici E,r este o funcție neechivocă a alteia, adică pe mulțimea Pareto, o caracteristică a unei operații poate fi utilizată pentru a determina fără ambiguitate alta.
Să revenim la analiza deciziilor financiare în condiții de incertitudine parțială. După cum se arată în Secțiunea 2.3, fiecare operațiune are un risc mediu așteptat și venitul mediu așteptat. Dacă introduceți un sistem de coordonate dreptunghiular, pe axa de abscisă ale căror valori sunt trasate , iar pe axa ordonatelor există valori, apoi fiecare operație va corespunde unui punct ( , ) pe planul de coordonate. Cu cât este mai sus acest punct în avion, cu atât este mai profitabilă operațiunea; cu cât punctul este mai în dreapta, cu atât operația este mai riscantă. Prin urmare, atunci când căutați operațiuni nedominate (seturi Pareto), trebuie să alegeți punctele deasupra și în stânga. Astfel, setul Pareto pentru datele inițiale din exemplele 2.6 și 2.7 constă dintr-o a treia operație.
Pentru a determina cea mai bună operațiune în unele cazuri, puteți utiliza unele formula de cantarireîn care caracteristicile și introduceți cu anumite greutăți, și care dă un număr care specifică cea mai bună operațiune. Să fie, de exemplu, pentru operație i cu caracteristici ( , ) formula de cântărire are forma f(i) = 3 - 2, iar cea mai bună operațiune este selectată pe baza valorii maxime f(i). Această formulă de ponderare înseamnă că decidentul este de acord să mărească riscul cu trei unități dacă venitul operațiunii crește cu cel puțin două unități. Astfel, formula de ponderare exprimă relația decidentului cu indicatorii de venit și risc.
Exemplul 2.9. Fie datele inițiale aceleași ca în exemplele 2.6 și 2.7, adică pentru consecințele și matricele de risc din exemplul 2.1 se cunosc probabilitățile opțiunilor pentru dezvoltarea situației reale: p1 = 1/2, p2 = 1/6 , p3 = 1/6, p4=1/6. În aceste condiții, decidentul este de acord să mărească riscul cu două unități dacă venitul operațiunii crește cu cel puțin o unitate. Determinați cea mai bună operațiune pentru acest caz.
Soluţie. Formula de cântărire are forma f(i) = 2 - . Folosind rezultatele calculelor din exemplele 2.6 și 2.7, găsim:
f(1) = 2*29/6 – 20/6 = 6,33; f(2) = 2*25/6 – 4 = 4,33;
f(3) = 2*7 – 7/6 = 12,83; f(4) = 2*17/6 – 32/6 = 0,33
Prin urmare, a treia operație este cea mai bună, iar a patra este cea mai proastă.
Subiectul 3. Măsurători și indicatori ai riscurilor financiare
Evaluarea cantitativă a riscului. Riscul unei operațiuni separate. Măsuri generale de risc.
Acest subiect discută criteriile și metodele de luare a deciziilor în cazurile în care se presupune că distribuțiile de probabilitate ale rezultatelor posibile sunt fie cunoscute, fie ele pot fi găsite, iar în acest din urmă caz nu este întotdeauna necesar să se specifice în mod explicit densitatea distribuției.
3.1. Abordări metodologice generale ale evaluării cantitative a riscurilor
Riscul este o categorie probabilistică, prin urmare metodele de evaluare cantitativă a acestuia se bazează pe o serie dintre cele mai importante concepte ale teoriei probabilităților și statisticii matematice. Astfel, principalele instrumente ale metodei statistice de calcul al riscului sunt:
1) valorea estimata m, de exemplu, o astfel de variabilă aleatoare ca rezultat al unei tranzacții financiare k: m = E{k};
2) dispersie ca o caracteristică a gradului de variație a valorilor unei variabile aleatoare kîn jurul centrului de grupare m(amintim că varianța este așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică );
3) deviație standard ;
4) coeficientul de variație , care are sensul de risc pe unitatea de venit mediu.
Cometariu. Pentru un set mic n valori – eșantion mică! – variabilă aleatoare discretă Strict vorbind, vorbim doar despre estimări măsurile de risc enumerate .
Asa de, valoarea medie (așteptată) a eșantionului, sau analog selectiv al așteptărilor matematice , este cantitatea în care Reu - probabilitatea realizării valorii unei variabile aleatoare k. Dacă toate valorile sunt la fel de probabile, atunci valoarea așteptată a unui eșantion aleatoriu este calculată folosind formula.
De asemenea, varianța eșantionului (varianța eșantionului ) este definită ca abaterea standard din eșantion: sau
. În acest din urmă caz, varianța eșantionului este estimarea părtinitoare a varianței teoretice . Prin urmare, este de preferat să se utilizeze o estimare imparțială a varianței, care este dată de formulă .
Evident, evaluarea poate fi calculată după cum urmează sau .
Este clar că evaluarea coeficient de variație acum ia forma .
În sistemele economice în condiții de risc, luarea deciziilor se bazează cel mai adesea pe unul dintre următoarele criterii.
1. Valorea estimata (profitabilitate, profit sau cheltuieli).
2. Varianta eșantionului sau abatere standard (pătrat mediu). .
3. Combinații de valori așteptate Și variaţiile sau abaterea standard a probei .
cometariu . Sub variabila aleatoare kîn fiecare situație specifică, se înțelege indicatorul corespunzător acestei situații, care este de obicei scris în notația acceptată: mp – randamentul portofoliului titluri de valoare, IRR – (Rata internă de rentabilitate) rata interna de returnare etc.
Să ne uităm la ideea prezentată folosind exemple specifice.
3.2. Distribuții de probabilitate și randamente așteptate
După cum sa spus de mai multe ori, riscul este asociat cu probabilitatea ca rentabilitatea reală să fie mai mică decât valoarea sa așteptată. Prin urmare, distribuțiile de probabilitate sunt baza pentru măsurarea riscului unei operațiuni. Totuși, trebuie să ne amintim că estimările obținute sunt de natură probabilistică.
Exemplul 1. Să presupunem, de exemplu, că intenționați să investiți 100.000 USD. pe o perioadă de un an. Opțiunile alternative de investiții sunt prezentate în tabel. 3.1.
În primul rând, acestea sunt GKO-OFZ cu o scadență de un an și o rată a venitului de 8%, care pot fi achiziționate cu reducere, adică la un preț sub egalitate, iar la momentul răscumpărării li se va plăti valoarea nominală.
Tabelul 3.1
Evaluarea rentabilității pentru patru alternative de investiții
Stateconomie |
Probabilitate Ri |
Rentabilitatea investiției într-o anumită stare a economiei, % |
|||
titluri corporative | |||||
Recesiune profundă | |||||
Ușoară scădere | |||||
Stagnare | |||||
Creștere ușoară | |||||
Creștere puternică | |||||
Revenire așteptată |
Notă. Rentabilitatea corespunzătoare diferitelor stări ale economiei ar trebui considerată ca un interval de valori, iar valorile sale individuale ca puncte din acest interval. De exemplu, un randament de 10% al unei obligațiuni corporative cu o ușoară scădere reprezintă cel mai probabil valoarea de returnare pentru o anumită stare a economiei, iar valoarea punctului este utilizată pentru comoditatea calculelor.
În al doilea rând, titlurile corporative (blue chips), care sunt vândute la egalitate cu o rată a cuponului de 9% (adică pentru 100.000 USD din capitalul investit puteți primi 9.000 USD pe an) și o scadență de 10 ani. Cu toate acestea, intenționați să vindeți aceste titluri la sfârșitul primului an. În consecință, randamentul efectiv va depinde de nivelul ratelor dobânzilor de la sfârșitul anului. Acest nivel depinde, la rândul său, de starea economiei la sfârșitul anului: dezvoltarea economică rapidă este probabil să determine creșterea ratelor dobânzilor, ceea ce va reduce valoarea de piață a blue chips-ului; În cazul unei crize economice, este posibilă situația inversă.
În al treilea rând, proiectul de investiții de capital 1, al cărui cost net este de 100.000 USD. Fluxul de numerar în timpul anului este zero, toate plățile sunt efectuate la sfârșitul anului. Valoarea acestor plăți depinde de starea economiei.
Și, în sfârșit, proiectul de investiții alternativ 2, identic din toate punctele de vedere cu proiectul 1 și diferit doar de acesta distribuția probabilității plăților așteptate la sfârșitul anului .
Sub distribuția probabilității , vom înțelege setul de probabilități ale rezultatelor posibile (în cazul unei variabile aleatoare continue, aceasta ar fi densitatea distribuției probabilităților). În acest sens trebuie interpretate datele prezentate în Tabelul 1. 3.1 patru distribuții de probabilitate corespunzătoare celor patru opțiuni alternative de investiții. Randamentul pe GKO-OFZ este cunoscut cu precizie. Este de 8% și nu depinde de starea economiei.
Intrebarea 1 . Riscul pe GKO-OFZ poate fi considerat necondiționat egal cu zero?
Răspuns: a) da; b) Cred că nu totul este atât de simplu, dar îmi este greu să dau un răspuns mai complet; c) nu.
Răspunsul corect este c).
Pentru orice răspuns, vezi referința 1.
Ajutor 1 . Investițiile în GKO-OFZ sunt fără riscuri doar în sensul că acestea nominal rentabilitatea nu se modifică într-o anumită perioadă de timp. În același timp ei real randamentul conține o anumită cantitate de risc, deoarece depinde de rata reală de creștere a inflației în perioada de deținere a acestui titlu. Mai mult, GKO-urile pot pune o problemă pentru un investitor care deține un portofoliu de valori mobiliare cu scopul de a genera venituri continue: atunci când o plată GKO-OFZ ajunge la scadență, fondurile trebuie reinvestite, iar dacă ratele dobânzilor scad, veniturile portofoliului vor scădea și ele. . Acest tip de risc, care se numește riscul ratei de reinvestire , nu este luată în considerare în exemplul nostru, deoarece perioada în care investitorul deține GKO-OFZ corespunde cu data de scadență a acestora. În cele din urmă, observăm că randament relevant al oricărei investiții este rentabilitatea după impozitare, astfel încât valorile rentabile utilizate pentru a lua o decizie trebuie să reflecte rentabilitatea după impozitare.
Pentru celelalte trei opțiuni de investiții, randamentele reale sau reale nu vor fi cunoscute până la sfârșitul perioadelor de deținere respective. Deoarece valorile rentabilității nu sunt cunoscute cu siguranță, aceste trei tipuri de investiții sunt riscant .
Există distribuții de probabilitate discret sau continuu . Distribuție discretă are un număr finit de rezultate; deci, in tabel. Tabelul 3.1 prezintă distribuții de probabilitate discrete ale randamentelor pentru diferite opțiuni de investiții. Randamentul GKO-OFZ ia o singură valoare posibilă, în timp ce fiecare dintre cele trei alternative rămase are cinci rezultate posibile. Fiecare rezultat este asociat cu probabilitatea apariției sale. De exemplu, probabilitatea ca GKO-OFZ să aibă un randament de 8% este 1,00, iar probabilitatea ca randamentul titlurilor corporative să fie de 9% este 0,50.
Dacă înmulțim fiecare rezultat cu probabilitatea de apariție a acestuia și apoi adunăm rezultatele, obținem o medie ponderată a rezultatelor. Ponderile sunt probabilitățile corespunzătoare, iar media ponderată este valorea estimata . Din moment ce rezultatele sunt rate interne de rentabilitate (Rata internă de rentabilitate, abreviată ca IRR), valoarea așteptată este rata de rentabilitate așteptată (Rata de rentabilitate așteptată, abrevierea ERR), care poate fi reprezentată după cum urmează:
ERR = IRRi, (3,1)
unde IRRi , - i-al-lea rezultat posibil; pi- probabilitatea de apariție a i-lea rezultat; P - numărul de rezultate posibile.
Lucrări de laborator 2 „Funcționarea și diagnosticarea suporturilor pentru liniile aeriene de contact”
Scopul lucrării: familiarizați-vă cu metodele de determinare a stării de coroziune a suporturilor rețelelor de contact din beton armat
Comandă de lucru:
1) Studiați și alcătuiți un scurt raport despre funcționarea dispozitivului ADO-3.
2) Studiați și rezolvați problema folosind metoda riscului minim (conform opțiunilor (după număr din jurnal)
3) Luați în considerare o întrebare specială despre metodele de diagnosticare a stării suporturilor (cu excepția unghiului de înclinare).
P.p. 1 și 3 sunt executate de o echipă de 5 persoane.
P.2 se realizează individual de către fiecare elev.
Ca urmare, trebuie să faceți un raport electronic personalizat și să îl atașați la tablă.
Metoda riscului minim
Dacă există incertitudine în luarea deciziilor, se folosesc metode speciale care țin cont de natura probabilistică a evenimentelor. Acestea vă permit să atribuiți o limită de toleranță a parametrilor pentru luarea unei decizii de diagnosticare.
Să diagnosticăm starea suportului din beton armat folosind metoda vibrațiilor.
Metoda vibrației (Figura 2.1) se bazează pe dependența scăderii vibrațiilor amortizate a unui suport de gradul de coroziune al armăturii. Suportul este pus în mișcare oscilativă, de exemplu, folosind o frânghie și un dispozitiv de eliberare. Dispozitivul de eliberare este calibrat pentru o forță dată. Un senzor de vibrații, cum ar fi un accelerometru, este instalat pe suport. Scăderea oscilațiilor amortizate este definită ca logaritmul raportului amplitudinilor oscilației:
unde A 2 și A 7 sunt amplitudinile celei de-a doua și, respectiv, a șaptea oscilații.
a) diagrama b) rezultatul măsurării
Figura 2.1 – Metoda vibrației
ADO-2M măsoară amplitudini de vibrație de 0,01 ... 2,0 mm cu o frecvență de 1 ... 3 Hz.
Cu cât gradul de coroziune este mai mare, cu atât vibrațiile se sting mai repede. Dezavantajul metodei este că scăderea vibrațiilor depinde în mare măsură de parametrii solului, de metoda de încorporare a suportului, de abaterile în tehnologia de fabricație a suportului și de calitatea betonului. Influența notabilă a coroziunii apare numai cu o dezvoltare semnificativă a procesului.
Sarcina este de a alege valoarea Xo a parametrului X în așa fel încât atunci când X>Xo se ia decizia de a înlocui suportul, iar când X<Хо не проводили управляющего воздействия.
. (2.2)
Scăderea vibrațiilor suportului depinde nu numai de gradul de coroziune, ci și de mulți alți factori. Prin urmare, putem vorbi despre o anumită regiune în care poate fi situată valoarea de decrement. Distribuția scăderii vibrațiilor pentru un suport funcțional și corodat este prezentată în Fig. 2.2.
Figura 2.2 - Densitatea probabilă a scăderii vibrației suportului
Este important ca zonele deservibile D 1 și coroziv D Cele 2 stări se intersectează și, prin urmare, este imposibil să alegeți x 0 astfel încât regula (2.2) să nu dea soluții eronate.
Eroare de primul fel- luarea unei decizii cu privire la prezenta coroziunii (defectului), cand de fapt suportul (sistemul) este in stare buna.
Eroare de al doilea tip- luarea unei decizii cu privire la starea de funcționare, în timp ce suportul (sistemul) este corodat (conține un defect).
Probabilitatea unei erori de primul tip este egală cu produsul probabilităților a două evenimente: probabilitatea prezenței unei stări bune și probabilitatea ca x > x 0 într-o stare bună:
, (2.3)
unde P(D 1) = P 1 este probabilitatea a priori de a găsi suportul în stare bună (considerat cunoscut pe baza datelor statistice preliminare).
Probabilitatea unei erori de tip II:
, (2.4)
Dacă sunt cunoscute costurile erorilor din primul și al doilea tip c și respectiv y, atunci putem scrie ecuația pentru riscul mediu:
Să găsim valoarea limită x 0 pentru regula (2.5) din condiția riscului mediu minim. Înlocuind (2.6) și (2.7) în (2.8) și diferențiind R(x) față de x 0, echivalăm derivata cu zero:
= 0, (2.6)
. (2.7)
Aceasta este o condiție pentru găsirea a două extreme - maxim și minim. Pentru ca un minim să existe în punctul x = x 0, derivata a doua trebuie să fie pozitivă:
. (2.8)
Aceasta duce la următoarea condiție:
. (2.9)
Dacă distribuțiile f(x/D 1) și f(x/D 2) sunt unimodale, atunci când:
(2.10)
condiția (4.58) este îndeplinită.
Dacă distribuțiile de densitate ale parametrilor unui (sistem) funcțional și defect sunt supuse legii lui Gauss, atunci ele au forma:
, (2.11)
. (2.12)
Condițiile (2.7) în acest caz iau forma:
. (2.13)
După transformare și logaritm, obținem o ecuație pătratică
, (2.14)
b = ;
c = .
Rezolvând ecuația (2.14), se poate găsi valoarea x 0 la care se atinge riscul minim.
Date inițiale:
Conditii de lucru:
Valorea estimata:
Probabilitatea ca sistemul să fie în stare bună:
Deviație standard:
Costuri date pentru stare bună:
Stare defectuoasa:
Valorea estimata: ;