Нехай a(x) та b(x) – б.м. функції при x® a (x® + ¥, x® –¥, x® x 0, …). Розглянемо межу їхнього відношення при x® a.
1. Якщо = bі b- Кінцеве число, b¹ 0, то функції a(x), b(x) називаються нескінченно малими одного порядку малості при x® a.
2. Якщо = 0, то a(x) називають нескінченно малою вищого порядку чим b(x) при x® a. Вочевидь, у разі = ¥.
3. Якщо a(x) – б.м. вищого порядку, ніж b(x), і = b¹ 0 ( b- Кінцеве число, kÎ N ), то a(x) називають нескінченно малою k-го порядку, порівняно з b(x) при x® a.
4. Якщо немає (ні кінцевий, ні нескінченний), то a(x), b(x) називають незрівнянними б.м. при x® a.
5. Якщо = 1, то a(x), b(x) називаються еквівалентними б.м. при x® a, що позначається так: a(x) ~ b(x) при x® a.
Приклад 1. a(x) = (1 – x) 3 , b (x) = 1 – x 3 .
Очевидно, що при x® 1 функції a(x), b(x) є б.м. Для їх порівняння знайдемо межу їхнього відношення при x® 1:
Висновок: a(x b(x) при x® 1.
Неважко переконатися, що = (переконайтеся!), звідки випливає, що a(x) – б.м. 3-го порядку малості, порівняно з b(x) при x® 1.
Приклад 2. Функції a 1 (x) = 4x, a 2 (x) = x 2 , a 3 (x) = sin x, a 4 (x) = tg xє нескінченно малими при x® 0. Порівняємо їх:
0, , = 1, = ¥.
Звідси укладаємо, що a 2 (x) = x 2 – б.м. вищого порядку, порівняно з a 1 (x) та a 3 (x) (при x® 0), a 1 (x) та a 3 (x) – б.м. одного порядку, a 3 (x) та a 4 (x) - еквівалентні б.м., тобто. sin x~ tg xпри x® 0.
Теорема 1. Нехай a(x) ~ a 1 (x), b(x) ~ b 1 (x) при x® a. Якщо існує, то існує і, і =.
Доведення. = 1, = 1,
= = .
Ця теорема дозволяє спрощувати знаходження меж.
Приклад 3.
Знайти.
В силу першої чудової межі sin4 x~ 4x, tg3 x~ 3xпри x® 0, тому
Теорема 2. Нескінченно малі функції a(x) та b(x) еквівалентні (при x® a) тоді і тільки тоді, коли a(x) – b(x) є б.м. вищого порядку, порівняно з a(x) та b(x) (при x® a).
Доведення
Нехай a(x) ~ b(x) при x® a. Тоді = = 0, тобто. різниця a(x) – b(x a(x) при при x® a(аналогічно з b(x)).
Нехай a(x) – b(x) – б.м. вищого порядку, порівняно з a(x) та b(x), покажемо, що a(x) ~ b(x) при x® a:
= = + = 1,
Що таке нескінченні малі функції
Однак нескінченно малою функцією може бути тільки в конкретній точці. Як показано малюнку 1, функція нескінченно мала лише у точці 0.
Малюнок 1. Нескінченна мала функція
Якщо межа частки двох функцій в результаті дає 1, функції називаються еквівалентними нескінченно малими при прагненні х до точки а.
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]
Визначення
Якщо функції f(x), g(x) нескінченно малі при $х > а$, то:
- Функція f(x) називається нескінченно малою вищого порядку щодо g(x), якщо виконується умова: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
- Функція f(x) називається нескінченно малою n-го порядку щодо g(x), якщо відмінний від 0 і кінцева межа: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]
Приклад 1
Функція $y=х^3$ є нескінченно малою вищого порядку при х>0, у порівнянні з функцією y=5x, так як межа їх відношення дорівнює 0, це пояснюється тим, що функція $y=х^3$ прагне нульового значенню швидше:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 ) x = 0 \]
Приклад 2
Функції y=x2-4 та y=x2-5x+6 є нескінченно малими одного порядку при х>2, так як межа їх відношення не дорівнює 0:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ to 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]
Властивості еквівалентних нескінченно малих
- Різниця двох еквівалентних нескінченно малих є нескінченно мала найвищого порядку щодо кожної з них.
- Якщо із суми кількох нескінченно малих різних порядків відкинути нескінченно малі вищих порядків, то частина, що називається головною, еквівалентна всій сумі.
З першої властивості випливає, що еквівалентні нескінченно малі можуть стати приблизно рівними зі скільки завгодно малою відносною похибкою. Тому знак ≈ застосовується як позначення еквівалентності нескінченно малих, так запису наближеної рівності їх досить малих значень.
При знаходженні междуже часто доводиться застосовувати заміну еквівалентних функцій для швидкості та зручності обчислень. Таблиця еквівалентних нескінченно малих представлена нижче (табл.1).
Еквівалентність нескінченно малих наведених у таблиці можна довести, спираючись на рівність:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]
Таблиця 1
Приклад 3
Доведемо еквівалентність нескінченно малих ln(1+x) та x.
Доведення:
- Знайдемо межу відношення величин \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
- Для цього застосуємо властивість логарифму: \[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
- Знаючи, що логарифмічна функціябезперервна у своїй галузі визначення, можна поміняти місцями знак межі та логарифмічної функції: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ right)\]
- Оскільки х - нескінченно мала величина, межа прагнути до 0. Значить: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ right)=\ln e=1\]
(застосували другу чудову межу)
Що таке нескінченні малі функції
Однак нескінченно малою функцією може бути тільки в конкретній точці. Як показано малюнку 1, функція нескінченно мала лише у точці 0.
Малюнок 1. Нескінченна мала функція
Якщо межа частки двох функцій в результаті дає 1, функції називаються еквівалентними нескінченно малими при прагненні х до точки а.
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]
Визначення
Якщо функції f(x), g(x) нескінченно малі при $х > а$, то:
- Функція f(x) називається нескінченно малою вищого порядку щодо g(x), якщо виконується умова: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =0\]
- Функція f(x) називається нескінченно малою n-го порядку щодо g(x), якщо відмінний від 0 і кінцева межа: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g^(n) (x)) =A\]
Приклад 1
Функція $y=х^3$ є нескінченно малою вищого порядку при х>0, у порівнянні з функцією y=5x, так як межа їх відношення дорівнює 0, це пояснюється тим, що функція $y=х^3$ прагне нульового значенню швидше:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) \frac(x^(2) )(5x) =\frac(1)(5) \mathop(\lim )\limits_(x\to 0 ) x = 0 \]
Приклад 2
Функції y=x2-4 та y=x2-5x+6 є нескінченно малими одного порядку при х>2, так як межа їх відношення не дорівнює 0:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac(x^(2) -4)(x^(2) -5x+6) =\mathop(\lim )\limits_(x\ to 2) \frac((x-2)(x+2))((x-2)(x-3)) =\mathop(\lim )\limits_(x\to 2) \frac((x+ 2))((x-3)) =\frac(4)(-1) =-4\ne 0\]
Властивості еквівалентних нескінченно малих
- Різниця двох еквівалентних нескінченно малих є нескінченно мала найвищого порядку щодо кожної з них.
- Якщо із суми кількох нескінченно малих різних порядків відкинути нескінченно малі вищих порядків, то частина, що називається головною, еквівалентна всій сумі.
З першої властивості випливає, що еквівалентні нескінченно малі можуть стати приблизно рівними зі скільки завгодно малою відносною похибкою. Тому знак ≈ застосовується як позначення еквівалентності нескінченно малих, так запису наближеної рівності їх досить малих значень.
При знаходженні меж дуже часто доводиться застосовувати заміну еквівалентних функцій для швидкості та зручності обчислень. Таблиця еквівалентних нескінченно малих представлена нижче (табл.1).
Еквівалентність нескінченно малих наведених у таблиці можна довести, спираючись на рівність:
\[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(f(x))(g(x)) =1\]
Таблиця 1
Приклад 3
Доведемо еквівалентність нескінченно малих ln(1+x) та x.
Доведення:
- Знайдемо межу відношення величин \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) \]
- Для цього застосуємо властивість логарифму: \[\frac(\ln (1+x))(x) =\frac(1)(x) \ln (1+x)=\ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \] \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+x)^(\frac(1)(x) ) \]
- Знаючи, що логарифмічна функція безперервна у своїй області визначення, можна поміняти місцями знак межі та логарифмічної функції: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to a) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ right)\]
- Оскільки х - нескінченно мала величина, межа прагнути до 0. Значить: \[\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \frac(\ln (1+x))(x) =\mathop(\lim )\limits_(x\to a) \ln (1+ x)^(\frac(1)(x) ) =\ln \left(\mathop(\lim )\limits_(x\to 0) (1+x)^(\frac(1)(x) ) \ right)=\ln e=1\]
(застосували другу чудову межу)
Контрольна робота
Дисципліна: Вища математика
Тема: Межі. Порівняння нескінченно малих величин
1. Межа числової послідовності
2. Межа функції
3. Друга чудова межа
4. Порівняння нескінченно малих величин
Література
1. Межа числової послідовності
Розв'язання багатьох математичних та прикладних задач призводить до послідовності чисел, заданих певним чином. З'ясуємо деякі властивості.
Визначення 1.1.Якщо кожному натуральному числу
за якимось законом поставлено у відповідність речове число , то безліч чисел називається числовою послідовністю.Виходячи з визначення 1, видно, що числова послідовність завжди містить нескінченну кількість елементів. Вивчення різних числових послідовностей показує, що зі зростанням номера їх члени поводяться по-різному. Вони можуть необмежено збільшуватися або зменшуватися, можуть постійно наближатися до якогось числа або взагалі не виявляти будь-якої закономірності.
Визначення 1.2.Число
називається межею числової послідовності, якщо для будь-якого числа існує такий номер числової послідовності, що залежить від того, що для всіх номерів числової послідовності виконується умова.Послідовність, яка має межу, називається схожою. У цьому випадку пишуть
.Очевидно, для з'ясування питання про збіжність числової послідовності необхідно мати критерій, який був би заснований лише на властивостях її елементів.
Теорема 1.1.(Теорема Коші про збіжність числової послідовності). Для того, щоб числова послідовність була схожою, необхідно і достатньо, щоб для будь-якого числа
існував такий номер числової послідовності, що залежить від того, що для будь-яких двох номерів числової послідовності і, які задовольняють умові і, було б справедливо нерівність.Доведення. Необхідність. Дано, що числова послідовність
сходиться, значить, відповідно до визначення 2, у неї існує межа . Виберемо якесь число . Тоді, за визначенням межі числової послідовності, існує такий її номер, що для всіх номерів виконується нерівність. Але оскільки довільно, то виконуватиметься і . Візьмемо два якихось номери послідовності і тоді .Звідси слідує що
тобто необхідність доведена.Достатність. Дано, що
. Отже, існує такий номер , що для цієї умови і . Зокрема, якщо , а , то або за умови, що . Це означає, що числова послідовність обмежена. Отже, принаймні одна з її підпослідовностей повинна сходитися. Нехай. Доведемо, що сходиться також.Візьмемо довільне
. Тоді, згідно з визначенням межі, існує такий номер, що для всіх виконується нерівність. З іншого боку, за умовою дано, що з послідовності існує такий номер , що й буде виконуватися умова . і зафіксуємо деяке. Тоді всім отримаємо: .Звідси слідує що