Analiza teoretică bazată pe timpi de probabilitate speciali, precum și o serie de experimente de calcul bazate pe computer, au arătat că doar o familie restrânsă de distribuții de probabilitate, dintre care cea mai simplă este distribuția Pareto, la O 1, oferă în mod fiabil o concentrație de > 75% din rezervele industriale de petrol mai puțin de 10% din zăcăminte. Aceste numere și modele sunt tipice pentru marea majoritate a bazinelor de petrol și gaze și a lumii [l]
Orez. 10.5. Exemplu de distribuție Pareto (valori din tabelul 10.1)
Distribuția Pareto este o distribuție trunchiată la stânga a cărei densitate de probabilitate și funcție de distribuție sunt exprimate ca x
Distribuția Pareto poate fi modificată în așa fel încât să poată fi utilizată pentru a descrie distribuțiile de probabilitate simetrice. Introducând o nouă variabilă t = X - B, obținem
Distribuția modificărilor de preț se referă în general la distribuțiile Pareto (vezi Anexa B). Distribuția PL de tranzacționare poate fi considerată o transformare a distribuției prețurilor. Această transformare este rezultatul metodelor de tranzacționare, când comercianții încearcă să-și reducă pierderile și să-și mărească profiturile, prin urmare, distribuția PL de tranzacționare poate fi atribuită distribuțiilor Pareto. Cu toate acestea, distribuția pe care o vom studia nu este o distribuție Pareto. Distribuția Pareto, ca toate celelalte funcții de distribuție, modelează un anumit fenomen probabilistic. Modelează distribuția sumelor de variabile aleatoare independente, distribuite identic. Funcția de distribuție, pe care o vom studia, nu modelează un fenomen probabilistic specific. Modelează multe funcții de distribuție unimodală. Prin urmare, poate replica forma și densitatea de probabilitate a distribuției Pareto, precum și orice altă distribuție unimodală. Acum vom crea această funcție. Mai întâi, luați în considerare următoarea ecuație
Considerăm că repartizarea acestor 150 de miliarde nesocotite în absența impactului fiscal și redistributiv al statului se supune legii de distribuție Pareto 20% dintre cei mai bogați primesc 80% din toate veniturile (120 din 150 de miliarde suplimentare).
După ce a studiat un material statistic destul de extins, Pareto a ajuns la concluzia că parametrii acestei distribuții sunt aproximativ aceiași și nu diferă fundamental în tari diferiteși în momente diferite. Curba de distribuție a veniturilor este remarcabil de stabilă, se modifică ușor, deși circumstanțele timpului și locului în care este observată se modifică foarte mult, scria Pareto în Socialist Systems. Forma acestei curbe depinde de distribuția dată biologic a caracteristicilor psihologice ale oamenilor. Legea Pareto a dat naștere la o vastă literatură economică, atât critică, cât și interpretativă a distribuției Pareto în raport cu o mare varietate de aplicații — economice, sociale, biologice, demografice și așa mai departe.
În capitolul anterior, am văzut o posibilă înlocuire a distribuției normale ca funcție de probabilitate pentru descrierea randamentelor pieței. Această înlocuire a fost numită, alternativ, distribuții stabile ale lui Leah, distribuții stabile Pareto sau distribuții Pareto-Levy. Acum putem adăuga distribuții fractale, un nume care le descrie mai bine. Deoarece numele tradiționale sunt numite după matematicienii care le-au creat, vom folosi toate aceste nume în mod interschimbabil.
Restul acestui capitol este dedicat unei analize a diferitelor distribuții de probabilitate aplicabile în estimarea comportamentului rentabilității activelor, sub rezerva ipotezelor adecvate. Să începem cu două distribuții continue - normală și lognormală. Apoi luați în considerare două distribuții discrete - binomială și Poisson. Să încheiem considerația grupului asupra altor distribuții continue, inclusiv distribuția Pareto-Levy. Să explicăm cele mai dezirabile caracteristici ale distribuțiilor din punctul de vedere al unui analist financiar.
O astfel de familie de distribuții sunt distribuții stabile, numite așa deoarece la adunarea distribuțiilor (înmulțirea combinațiilor liniare de funcții care le caracterizează) din această familie se obține o altă distribuție care aparține aceleiași familii. Distribuțiile stabile constau, la rândul lor, din alte distribuții subiacente. Distribuțiile construite pe baza distribuției Pareto (a cărei funcție de densitate de probabilitate DA) = a/A +1 pentru X> 1) au caracteristicile cerute (simetrie, vârf înalt și cozi grase) pentru valori specifice celor patru parametri definitori . Aceste patru opțiuni
În acest caz, se va obține o distribuție Pareto (vezi Fig. 27) și se vor putea identifica mai multe cele mai importante tipuri defecțiuni, care reprezintă de obicei aproximativ 70% din toate eșecurile. Când informațiile sunt distribuite în ordinea descrescătoare a importanței, vă puteți concentra asupra acelor zone, al căror studiu va da cel mai mare efect.
Orez. 27 a împrumutat dintr-un raport privind defecțiunile constatate la mașinile din Suedia în timpul inspecției anuale obligatorii. Arată o imagine tipică a distribuției Pareto.
Distribuția Pareto este prezentată grafic în fig. 12.5.
Venitul Fig. 12.5. Distribuția Pareto
Axa x arată venitul, iar axa /(l) arată numărul de gospodării sau persoane cu venituri egale sau mai mari decât o anumită limită (x0). Distribuția Pareto este utilizată în practică atunci când se aproximează o serie de beneficiari ai veniturilor clasificați în funcție de nivelul de venit în interval, adică este folosită pentru a descrie nivelul venitului din numărul de beneficiari ale căror venituri sunt peste sau sub nivelurile date.
În legătură cu relația (1), este potrivit să reamintim că în statistica matematică este bine cunoscută o distribuție cu o scădere a densității prin legea puterii - aceasta este o distribuție Pareto cu o densitate (a > O, b > 0).
Luați în considerare distribuția Pareto cu densitate
Mai recent, modelele tradiționale de portofoliu au fost criticate puternic, deoarece se consideră că modificările prețurilor sunt cel mai bine descrise de o distribuție Pareto cu varianță infinită (sau nedeterminată). Cu toate acestea, multe studii arată că piețele s-au apropiat de o distribuție normală în ultimii ani (adică de variație limitată și independență a rezultatelor), pe care se bazează modelele de portofoliu criticate. Modelele de portofoliu folosesc o distribuție a randamentelor, mai degrabă decât o distribuție a modificărilor de preț. Deși distribuția profiturilor este o distribuție transformată a modificărilor de preț (ca urmare a închiderii tranzacțiilor pierdute și a menținerii pozițiilor câștigătoare cât mai mult timp posibil), aceste distribuții sunt de obicei diferite. Distribuția profiturilor nu este neapărat o clasă de distribuții Pareto, așa că în capitolul 4 am modelat distribuția PL cu o distribuție gestionată. Mai mult, există derivate, cum ar fi opțiunile, care au semi-dispersie sau varianță limitată. De exemplu, un spread vertical al opțiunii de debit garantează o dispersie limitată a profiturilor. Nu încerc să contest criticile rezonabile la adresa modelelor actuale de portofoliu. Modelele ar trebui folosite cu condiția să fim conștienți de deficiențele lor. Desigur, sunt necesare modele de portofoliu mai bune. Nu susțin că modelele actuale sunt adecvate, ci doar că intrările pentru modelele de portofoliu, actuale sau viitoare, ar trebui să se bazeze pe tranzacționarea unei unități la nivelul optim - sau la nivelul pe care noi credem că va fi optim. De exemplu, dacă aplicăm teoria E-V (modelul Markowitz), intrările sunt randamentul așteptat, varianța randamentelor și corelațiile randamentelor dintre sistemele de piață. Datele de intrare ar trebui determinate pe baza tranzacționării unei unități pentru fiecare sistem de piață la nivelul Modelului optim
A treia distribuție fizică, caracteristică în principal pentru riscurile naturale, este distribuția Pareto (sau distribuția auto-similară). Funcția de densitate de probabilitate a distribuției daunei în acest caz scade conform legii puterii
În secțiunea anterioară, am presupus că guvernul este arbitrul într-o situație de externalitate, stabilind o taxă pentru dreptul la o externalitate care va face distribuția Pareto eficientă. Dar să presupunem că statul nu poate sau nu dorește să intervină. Vor reuși participanții în această situație să-și dea seama fără participarea lui și care va fi rezultatul acestui proces?
În cazul EMH, teoria a fost dezvoltată pentru a justifica utilizarea instrumentelor statistice care necesită independență sau, în cel mai bun caz, memorie pe termen foarte scurt. Teoria a intrat adesea în conflict cu comportamentul observat. De exemplu, conform EMH, frecvența modificărilor prețurilor ar trebui să fie bine reprezentată de o distribuție normală. Am văzut în capitolul 2 că nu este cazul. Există prea multe schimbări mari în sus și în jos în toate frecvențele pentru a se potrivi această curbă normală la aceste distribuții. Cu toate acestea, schimbări atât de mari au fost etichetate ca evenimente speciale sau „anomalii” și nu au fost incluse în distribuția de frecvență. Rezultatul eliminării schimbărilor mari și al renormalizării este o distribuție normală. Modificările de preț au fost etichetate drept „aproximativ normale”. Alternativele la distribuția normală, cum ar fi distribuția stabilă Pareto, au fost respinse, chiar dacă se potrivesc cu costurile observate fără modificare. De ce nu a putut fi aplicată analiza statistică standard folosind astfel de distribuții. distributia venitului. S-a constatat că acesta din urmă se potrivește bine cu distribuția lognormală, cu excepția a aproximativ trei procente din cele mai mari venituri individuale. În acest moment, venitul începe să urmeze o lege inversă a puterii, care dă o îngroșare a cozii.Aproximativ, probabilitatea ca o persoană să fie de zece ori mai bogată decât alta urmează o distribuție normală, dar probabilitatea unui exces de bogăție de o sută de ori se transformă a fi mult mai mare decât distribuția normală prevăzută. Pareto a sugerat că această coadă îngroșată apare probabil pentru că cei bogați își pot multiplica bogăția mai eficient decât individul obișnuit pentru a obține bogăție mai mare și venituri mai mari. O lege similară a puterii inverse a fost găsită de Zipf (GK Zipf, 1948) pentru frecvențele care utilizează distribuții stabile se comportă în același mod ca și distribuțiile Pareto. În acest sens, partea „coadă” a distribuțiilor stabile este de tip Pareto.
Rețineți că adesea, în special în literatura financiară, distribuțiile de tip Pareto și chiar și pur și simplu distribuțiile Pareto sunt numite distribuții de probabilitate, a căror densitate scade la infinit (ca în legile a-stabile cu 0).
|notație= }} Distribuția Paretoîn teoria probabilității, o familie cu doi parametri de distribuții absolut continue care sunt legea puterii. Se numește Wilfredo Pareto. Apare în studiul diferitelor fenomene, în special, sociale, economice, fizice și altele. În afara domeniului economiei, este uneori numită și distribuția Bradford.
Definiție
Fie variabila aleatoare este astfel încât distribuția sa este dată de:
Unde . Atunci ei spun asta are o distribuție Pareto cu parametri și . Densitatea distribuției Pareto are forma:
\begin(matrix) \frac(kx_m^k)(x^(k+1)), & x \ge x_m \\ 0, & x< x_m \end{matrix} \right..
Momente
Momentele unei variabile aleatoare cu o distribuție Pareto sunt date prin formula:
,
de unde în special:
, .
Aplicații
Vilfredo Pareto a folosit inițial această distribuție pentru a descrie distribuția bogăției, precum și distribuția venitului. Regula lui de la 20 la 80 de ani (care spune: 20% din populație deține 80% din avere) depinde însă de valoarea specifică k, și se argumentează că, de fapt, există abateri cantitative semnificative, de exemplu, datele lui Pareto însuși pentru Marea Britanie în Curs de „economie politică se spune că acolo aproximativ 30% din populație deține 70% din venitul total.
Distribuția Pareto nu se găsește numai în economie. Se pot da următoarele exemple:
Vezi si
Scrieți o recenzie la articolul „Distribuire Pareto”
Note
P Distribuții de probabilitate | ||
---|---|---|
Unidimensional | Multidimensional | |
discret: | Bernoulli | Binom | Geometric | Hipergeometrică | Logaritmic | Binom negativ | Poisson | Uniformă discretă | Multinom |
Absolut continuu: | Beta | Weibulla | Gamma | Hiperexponenţial | distribuție Gompertz | Kolmogorov | Cauchy | Laplace | Lognormal | Normal (Gauss) | Logistica | Nakagami | Pareto| Pearson | Semicircular | Uniformă continuă | orez | Rayleigh | Student | Tracey - Vidoma | Fisher | Chi-pătrat | Exponenţial | Varianta-gama | Multidimensional normal | copulă |
Un fragment care caracterizează distribuția Pareto
S-a ridicat, vrând să ocolească, dar mătușa a adus tabatura chiar peste Helen, în spatele ei. Helen se aplecă pentru a-și face loc și se uită în jur zâmbind. Era, ca întotdeauna seara, într-o rochie foarte deschisă, la moda vremii, în față și în spate. Bustul ei, care lui Pierre i s-a părut întotdeauna marmură, era atât de aproape de ochii lui, încât, cu ochii săi miop, el a deslușit involuntar frumusețea plină de viață a umerilor și a gâtului ei și atât de aproape de buzele lui încât a trebuit să se aplece puțin pentru atinge-o. Îi auzea căldura corpului, mirosul de parfum și scârțâitul corsetului ei în timp ce se mișca. Nu i-a văzut frumusețea de marmură, care era una cu rochia ei, a văzut și a simțit tot farmecul trupului ei, care era acoperit doar de haine. Și, după ce a văzut odată aceasta, nu a putut vedea altfel, cum nu ne putem întoarce la înșelăciunea odată explicată.„Deci încă nu ai observat cât de frumoasă sunt? – parcă a spus Ellen. Ai observat că sunt femeie? Da, sunt o femeie care poate să aparțină oricui și ție la fel”, a spus privirea ei. Și chiar în acel moment Pierre a simțit că Helen nu numai că ar fi putut, dar ar fi trebuit să fie soția lui, că nu se putea altfel.
Știa asta în acel moment la fel de sigur cum ar fi știut, stând sub coroană cu ea. Cum va fi? și atunci când? Nu a stiut; nici măcar nu știa dacă va fi bine (chiar a simțit că nu este bine din anumite motive), dar știa că va fi.
Pierre îşi coborî ochii, îi ridică din nou şi dori din nou s-o vadă cu o frumuseţe atât de îndepărtată, străină pentru sine, aşa cum o văzuse în fiecare zi înainte; dar nu mai putea. Nu putea, așa cum o persoană care se uitase anterior în ceață la un fir de buruieni și vedea un copac în el, văzând un fir de iarbă, vedea din nou un copac în el, nu putea. Era teribil de aproape de el. Ea avea deja putere asupra lui. Și între el și ea nu mai existau bariere, cu excepția barierelor propriei sale voințe.
Bon, je vous laisse dans votre petit coin. Je vois, que vous y etes tres bien, [Bine, te las în colțul tău. Văd că te simți bine acolo,] - a spus vocea Annei Pavlovna.
Iar Pierre, amintindu-și cu teamă dacă făcuse ceva reprobabil, roșind, privi în jur. I se părea că toată lumea știa, la fel ca și el, despre ce i se întâmplase.
După un timp, când se apropie de cana mare, Anna Pavlovna îi spuse:
- On dit que vous embellissez votre maison de Petersbourg. [Se spune că îți termini casa din Sankt Petersburg.]
(Era adevărat: arhitectul a spus că are nevoie, iar Pierre, neștiind de ce, își termina casa uriașă din Sankt Petersburg.)
- C "est bien, mais ne demenagez pas de chez le prince Basile. Il est bon d" avoir un ami comme le prince, spuse ea, zâmbind prințului Vasily. - J "en says quelque chose. N" est ce pas? [Asta e bine, dar nu te îndepărta de prințul Vasily. E bine să ai un astfel de prieten. Știu ceva despre asta. Nu-i așa?] Și încă ești atât de tânăr. Ai nevoie de sfaturi. Nu ești supărat pe mine că folosesc drepturile bătrânelor. - A tăcut, așa cum femeile tac mereu, așteptând ceva după ce spun despre anii lor. - Dacă te căsătorești, atunci altă problemă. Și le-a pus împreună într-o singură privire. Pierre nu se uită la Helen, iar ea la el. Dar ea era încă teribil de aproape de el. A mormăit ceva și a roșit.
Întorcându-se acasă, Pierre nu a putut dormi mult timp, gândindu-se la ce i se întâmplase. Ce s-a intamplat cu el? Nimic. Și-a dat seama doar că femeia pe care a cunoscut-o în copilărie, despre care a spus absent: „Da, bine”, când i s-a spus că Helen este frumoasă, și-a dat seama că această femeie i-ar putea aparține.
„Dar ea este proastă, eu însumi am spus că este proastă”, se gândi el. - Este ceva urât în sentimentul pe care l-a trezit în mine, ceva interzis. Mi s-a spus că fratele ei Anatole era îndrăgostit de ea, iar ea era îndrăgostită de el, că era o poveste întreagă și că Anatole a fost alungat din asta. Fratele ei este Ippolit... Tatăl ei este prințul Vasily... Asta nu-i bine, se gândi el; și în același timp în care raționa așa (aceste raționamente erau încă neterminate), s-a trezit zâmbind și realizând că o altă serie de raționamente ieșise la suprafață din cauza primelor, că în același timp se gândea la nesemnificația ei și visând cum va fi soția lui, cum l-ar putea iubi, cum ar putea fi complet diferită și cum tot ce a gândit și a auzit despre ea ar putea fi neadevărat. Și a văzut-o din nou nu ca pe un fel de fiică a principelui Vasily, ci și-a văzut tot trupul, acoperit doar cu o rochie cenușie. „Dar nu, de ce nu mi-a venit acest gând înainte?” Și iarăși și-a spus că este imposibil; că ceva urât, nefiresc, după cum i se părea, necinstit ar fi în această căsătorie. Și-a amintit de cuvintele ei de odinioară, de privirile ei și de cuvintele și privirile celor care le văzuseră împreună. Și-a amintit de cuvintele și privirile Annei Pavlovna când i-a vorbit despre casă, și-a amintit mii de astfel de indicii de la prințul Vasily și alții și a fost îngrozit că nu s-a obligat în niciun fel în realizarea unui asemenea lucru, care , evident, nu a fost bun și ceea ce nu trebuie să facă. Dar în același timp în care își exprima această decizie, din cealaltă parte a sufletului său imaginea ei a ieșit la suprafață cu toată frumusețea ei feminină.
În noiembrie 1805, principele Vasily a trebuit să meargă în patru provincii pentru un audit. Și-a aranjat această întâlnire pentru a-și vizita în același timp moșiile ruinate și luând cu el (la locația regimentului său) fiul său Anatole, împreună cu el să-l cheme pe prințul Nikolai Andreevici Bolkonski pentru a se căsători cu fiul său. fiicei acestui bătrân bogat. Dar înainte de a pleca și de aceste noi treburi, prințul Vasily a trebuit să rezolve treburile cu Pierre, care, e adevărat, petrecuse zile întregi acasă, adică cu prințul Vasily, cu care locuia, era ridicol, agitat și prost ( așa cum ar trebui să fie îndrăgostit) în prezența lui Helen, dar tot nu i-a cerut în căsătorie.
„Tout ca est bel et bon, mais il faut que ca finisse”, [Toate acestea sunt bune, dar trebuie să se termine] - și-a spus o dată dimineața prințul Vasily cu un oftat de tristețe, dându-și seama că Pierre, care îi datora atât de mult pentru el (ei bine, da Hristos să fie cu el!), nu se descurcă prea bine în această chestiune. „Tinerețe... frivolitate... ei bine, Dumnezeu să-l binecuvânteze”, gândi prințul Vasily, simțindu-și bunătatea cu plăcere: „mais il faut, que ca finisse. După ziua onomastică a Lelynei mâine, voi suna pe cineva, iar dacă nu înțelege ce trebuie să facă, atunci asta va fi treaba mea. Da, afacerea mea. Eu sunt tatăl!”
Distribuția Pareto
Să trecem de la expresia pentru curba Pareto (1.2) la distribuția Pareto a variabilei aleatoare X(în exemplele de mai sus, aceasta este suma venitului) din punct de vedere al teoriei probabilităților și al statisticilor matematice.
În primul rând, să trecem la interpretarea probabilistică a mărimii persoanelor cu venituri X nu sub aceasta X, reprezentată prin (1.2), împărțind această expresie la numărul total Y populaţia care realizează un venit de cel puţin X.
Având în vedere că, conform legii Pareto, așa cum am menționat mai devreme, venitul (sau o altă variabilă aleatorie) începe să fie distribuit, pornind de la o anumită valoare. X 0 , este necesar să introducem această variabilă în (1.7), în ciuda faptului că am scăpat de ea mai devreme pentru comoditate. Acest lucru se poate face prin normalizare X pe X 0 :
Să înlocuim:
apoi: . (1,9)
Dar în teoria probabilității, se obișnuiește să se ia în considerare nu probabilitatea exprimată prin (1.9), ci așa-numita funcție de distribuție a unei variabile aleatoare, care este adăugarea lui (1.9) la unitate. functie de distributie F(x), care determină probabilitatea ca variabila aleatoare X ia o valoare mai mică decât cea dată X, pentru distribuția Pareto are forma:
Densitatea de probabilitate corespunzătoare p(x) se găsește ca o derivată a funcției de distribuție și determină probabilitatea ca o variabilă aleatoare să ia o valoare egală cu X. Pentru distribuția Pareto, densitatea de probabilitate este dată de:
Distribuțiile similare cu distribuția Pareto prin faptul că sunt limitate, pe de o parte, de valorile pe care o variabilă aleatoare le poate prelua, se numesc distribuții trunchiate. De obicei, ele sunt folosite în studii când dinamica comportamentului este importantă nu pentru întreaga populație de obiecte studiate, ci doar pentru unele părți ale acesteia sau chiar coada distribuției, sau dacă o parte a populației este distribuită conform unei singure legi. , iar o parte este distribuită în funcție de alta.
Să luăm în considerare o caracteristică importantă a distribuției Pareto, care determină domeniile de aplicare a acesteia în cercetare. Pentru a face acest lucru, găsim așteptările matematice ale acestei distribuții:
Astfel, se poate observa că așteptarea matematică a distribuției Pareto poate fi finită sau infinită în funcție de parametru. După cum sa menționat mai devreme, în studiile economice de distribuție a venitului, condiția este îndeplinită, astfel încât este posibil să se găsească așteptările matematice ( nivel mediu venit distribuit conform legii Pareto). Al doilea caz al distribuției Pareto la este o distribuție cu coadă grea (conceptul este discutat mai jos) și și-a găsit aplicație în teoria catastrofelor ca distribuție prin care este determinată probabilitatea apariției unor evenimente rare, dar semnificative ca scară. .
Luați în considerare o altă caracteristică interesantă care determină suma valorilor acumulate X variabilă aleatoare, notați-o (în exemplele considerate mai devreme, aceasta este suma totală a veniturilor tuturor persoanelor care se încadrează într-un interval dat de venituri) între valorile X 1 și X 2 . Această valoare poate fi determinată după cum urmează:
În același timp, va reflecta mai exact realitatea, cu cât distanța dintre ele este mai mare X 1 și X 2 . Este clar că atunci când comportamentul acestei funcții va depinde de parametru în același mod ca așteptările matematice găsite mai sus.
Când utilizați această funcție pentru a calcula, de exemplu, venitul total al persoanelor care primesc venituri dintr-o anumită valoare X 1 până la venitul maxim primit în țară de o persoană, X max, este mai bine să luați ca X 2 această valoare X max care poate fi exprimat astfel:
unde - valorile pe care variabila aleatoare le ia, în exemplul luat în considerare - venitul, în fiecare caz specific.
Expresia (1.14) poate fi aplicată dacă există informațiile necesare despre valoarea maximă X max. În acest caz, efectul total (1.13) va fi finit pentru orice valoare a parametrului, iar expresia (1.13) poate fi utilizată pentru a prezice efectele totale ale unei variabile aleatorii X distribuite conform legii Pareto, chiar dacă această distribuție are o coadă grea. Să descriem cum expresia (1.13) poate fi făcută și mai eficientă în analiza acestor variabile aleatoare. Să presupunem (și putem spune acest lucru cu un grad ridicat de certitudine) că valoarea X max depinde de numărul de evenimente care au avut loc sau de obiectele observate P. Și, la rândul său, desigur, depinde de timp t, deci obținem:
De asemenea, ar fi logic să presupunem că atât parametrul cât și A(acest lucru este cu siguranță valabil pentru fenomenele economice și sociale și, poate, pentru cele naturale):
Acum putem rescrie (1.13) pentru X maxși X 0 la fel de:
Având o cantitate suficientă de date statistice, este posibil să se calculeze forma și parametrii (1.15) și (1.16). Astfel, vom obține un model dinamic care descrie efectul total acumulat al unei variabile aleatoare distribuite conform legii Pareto.
distribuție Pareto stabilă - este de fapt o întreagă clasă de distribuții, numite uneori distribuții Pareto-Levy. Funcția de densitate de probabilitate N "(U) este dată după cum urmează:
unde U este o variabilă de distribuție stabilă;
A este parametrul de curtoză de distribuție;
B - parametrul asimetriei distribuției;
D - parametru locație distribuție;
V - parametrul de lățime; i - unitate imaginară, -1 l (1/2);
ABS() - funcție de valoare absolută; tan() - funcţie tangentă;
ln() - funcție de logaritm natural.
Limitele parametrilor ecuației (B.31) sunt:
Cei patru parametri de distribuție A, B, D și V permit distribuției să ia multe forme diferite.
Variabila A determină înălțimea cozilor distribuției, adică putem spune că A exprimă variabila curtoză a distribuției. Se mai numește și variabila A indice caracteristic distributie. Când A = 2, distribuția este normală, când A = 1, distribuția este o distribuție Cauchy. Pentru valorile lui A 1.
Variabila B este coeficient de asimetrie. Când B = 0, distribuția este simetrică. Cu cât asimetria este mai mare, cu atât valoarea absolută a lui B este mai mare. Rețineți că atunci când A = 2, W(U, A) = 0, caz în care B nu are niciun efect asupra distribuției. Când A = 2, indiferent ce este B, distribuția este totuși simetrică și normală. Parametrul de lățime V se exprimă uneori în funcție de variabila A: V = C l A, deci C = V l (1/A). Când A = 2, V este egal cu jumătate din varianță. Când A = 1 (pentru distribuția Cauchy), V este egal cu cele șapte latitudini interquartile. D este parametru de locație. Când A = 2, media aritmetică este estimarea imparțială a lui D; când A = 1, atunci mediana este media aritmetică.
Nu există funcții de distribuție pentru o distribuție Pareto stabilă. Din acest motiv, estimarea parametrilor acestei distribuții este dificilă, iar lucrul cu distribuția este problematic. Este interesant de observat că parametrii A, B, C și D ai distribuției stabile Pareto corespund celui de-al patrulea, al treilea, al doilea și, respectiv, primul moment al distribuției, ceea ce permite utilizarea distribuției stabile Pareto pentru a modela diferite tipuri de reală. distribuții, mai ales în cazurile în care cozile distribuției sunt mai groase decât cu o distribuție normală sau cu varianță infinită (când A
Varianta infinită face ca teorema limită centrală să fie inaplicabilă datelor care sunt distribuite conform unei distribuții Pareto stabile atunci când A
Una dintre principalele caracteristici ale unei distribuții Pareto stabile este că este invariantă la adunare, adică. suma variabilelor independente (distribuite după o distribuție Pareto stabilă) cu exponent caracteristic A va fi distribuită în mod similar, și cu un exponent caracteristic destul de apropiat. Astfel, avem o teoremă limită centrală generalizată, care este aceeași cu teorema limită centrală, cu excepția faptului că forma limită a distribuției este distribuția Pareto stabilă, nu distribuția normală, iar teorema este adevărată chiar dacă datele au infinit. varianță (adică, DAR
Această teoremă limită centrală generalizată face posibilă utilizarea distribuției Pareto stabile pentru a modela modificările prețurilor.
Mulți cercetători au încercat să clasifice diferite distribuții de probabilitate. Nu există nicio îndoială că Karl Pearson a făcut multe în acest domeniu, dar poate cea mai cuprinzătoare lucrare privind clasificarea celor mai faimoase distribuții de probabilitate a fost prezentată de Frank Gate. „Indexul” lui Gate acoperă aproape toate distribuțiile cunoscute publicate până în ianuarie 1958. Gate listează majoritatea funcțiilor matematice asociate cu distribuțiile. Mai important, se fac referiri la cărți și articole de-a lungul lucrării sale, astfel încât cititorul să poată găsi publicații pentru informații mai detaliate despre distribuția interesului. În indicele lui Gate, distribuțiile sunt clasificate (în total, el enumeră zece tipuri):
- 1. Normal.
- 2. Tipul III.
- 3. Binom.
- 4. Discret.
- 5. Distribuții (A, B).
- 6. Distribuții (0, +oo).
- 7. Distribuții (-oo, +oo).
- 8. Alte distribuții unidimensionale.
- 9. Alte distribuții bidimensionale.
- 10. Alte distribuții multidimensionale.
Dintre toate distribuțiile pe care le-am luat în considerare în această anexă, distribuțiile chi-pătrat și exponențiale sunt clasificate de Gate ca tip III. Distribuțiile binomiale, geometrice și Bernoulli sunt denumite binomiale. Distribuția Poisson și distribuția hipergeometrică sunt clasificate ca distribuții discrete. Distribuția uniformă se referă la distribuții (A, B). Distribuția F, precum și distribuția Pareto sunt ambele distribuții (0, + oo), distribuția t a lui Student este considerată distribuția (-oo, Prea), iar distribuția polinomială este considerată distribuție multivariată. De asemenea, trebuie remarcat faptul că nu toate distribuțiile pot fi clasificate într-una dintre aceste zece categorii, întrucât unele distribuții pot fi considerate subclase ale altora. De exemplu, distribuția Student se referă la distribuții (-oo, Too), în timp ce distribuția normală poate fi considerată o subclasă a distribuției Student, dar distribuției normale îi este alocată propria categorie. După cum puteți vedea, nu există criterii clare pentru împărțirea distribuțiilor în clase, dar indicele Gate este desenat destul de clar. Cititorii interesați de diferitele tipuri de distribuții și care intenționează să facă propriile cercetări ar trebui să se refere la lucrările lui Gate.
- Nu confundați distribuția Pareto stabilă cu distribuția gestionată discutată în Capitolul 4. Distribuția Pareto stabilă este o distribuție reală deoarece modelează probabilitatea unui fenomen. Distribuția controlată modelează alte distribuții de probabilitate (bidimensionale), cum ar fi distribuția Pareto.
- Haight, F.A., „Index to the Distributions of Mathematical Statistics”, Journal of Research of theNational Bureau of Standards - D. Mathematics and Mathematical Physics 65D, Nr. 1, pp. 23-60, ianuarie-martie 1961.
Distribuția Paretoîn teoria probabilității, o familie cu doi parametri de distribuții absolut continue care sunt legea puterii. Se numește Wilfredo Pareto. Apare în studiul diferitelor fenomene, în special, sociale, economice, fizice și altele. În afara domeniului economiei, este uneori numită și distribuția Bradford.
Definiție
Lasă valoarea aleatoare X (\displaystyle X) este astfel încât distribuția sa este dată de:
FX(x) = P(X< x) = 1 − (x m x) k , ∀ x ≥ x m {\displaystyle F_{X}(x)=P(XUnde x m , k > 0 (\displaystyle x_(m),k>0). Atunci ei spun asta X (\displaystyle X) are o distribuție Pareto cu parametri x m (\displaystyle x_(m))și k (\displaystyle k). , . Regula lui de la 20 la 80 de ani (care spune: 20% din populație deține 80% din avere) depinde însă de valoarea specifică k, și se argumentează că, de fapt, există abateri cantitative semnificative, de exemplu, datele lui Pareto însuși pentru Marea Britanie în Curs de „economie politică spunem că acolo aproximativ 30% din populație deține 70% din venitul total.
Distribuția Pareto nu se găsește numai în economie. Se pot da următoarele exemple.